Существуют два взаимно перпендикулярных диаметра окружности. Один из этих диаметров делит хорду пополам. Требуется

Cvetok

19

Чтобы доказать, что хорда и другой диаметр окружности параллельны, давайте рассмотрим ситуацию более подробно.

Пусть у нас есть окружность с центром O и радиусом r. Пусть AB -- один из взаимно перпендикулярных диаметров этой окружности, а CD -- хорда, которую этот диаметр пересекает на две равные части.

Нам нужно доказать, что хорда CD параллельна другому взаимно перпендикулярному диаметру, который обозначим EF.

Для начала, давайте вспомним, что вписанный угол, опирающийся на хорду, равен половине центрального угла, описывающего ту же дугу. Зная это, мы можем предположить, что ECD и FCD -- это вписанные углы, опирающиеся на хорду CD, и что фактический центральный угол, опирающийся на дугу CEFD, равен в сумме двум углам ECD и FCD.

Теперь учтем, что этот центральный угол должен быть половиной полного угла, опирающегося на дугу CEFD, так как диаметр EF является ее диаметром. Но по условию задачи известно, что диаметр AB делит хорду CD пополам и перпендикулярен ей. Это значит, что точка деления O является серединой хорды CD.

Теперь давайте предположим, что хорда CD не параллельна диаметру EF. В таком случае, если мы продолжим линию CD до пересечения с диаметром EF в точке G, то получим треугольник CGF.

Но мы уже доказали, что точка середины хорды CD (точка O) совпадает с точкой деления диаметра AB. А также, по условию задачи, диаметр AB перпендикулярен хорде CD. Таким образом, треугольник CGF будет прямоугольным треугольником, так как диагонали предполагаемого прямоугольника являются перпендикулярными.

Нам известно, что в прямоугольном треугольнике противолежащие углы прямые. Значит, угол GCF равен 90 градусам.

Но мы также предположили, что центральный угол, опирающийся на дугу CEFD, должен быть на самом деле половиной угла GCF. Это означает, что центральный угол равен 45 градусам.

Теперь возникает противоречие! Мы доказали, что центральный угол равен и 90 градусам (половина угла GCF) и 45 градусам, но это невозможно!

Таким образом, наше предположение о том, что CD не параллельна EF, было ошибочным. Из этого следует, что хорда CD и диаметр EF должны быть параллельными, что и требовалось доказать.

Вот и все пошаговое решение этой задачи. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.