Тест 20. Предел последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии Вариант 2 ВІ. Какой номер у члена

Lunnyy_Shaman_8296

2

Давайте решим задачи по очереди.

В1. Чтобы найти номер члена последовательности у, у которого уравнение равно 6, мы можем использовать формулу общего члена геометрической прогрессии. Общий член геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[u_n = a \cdot r^{n-1}\]

где \(u_n\) - n-й член последовательности, \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель, \(n\) - номер члена последовательности.

Мы знаем, что уравнение равно 6, поэтому мы можем записать:

\[6 = a \cdot r^{n-1}\]

Необходимо найти значение \(n\). Однако, у нас нет конкретных значений для \(a\) и \(r\), чтобы решить это уравнение. Пожалуйста, предоставьте дополнительную информацию или уточните задачу.

В2. Чтобы найти предел последовательности \(5n + 4n + i - Епі - ул\), нам нужно определить, какие члены последовательности входят в сумму, и вычислить их предел.

Текущее выражение состоит из нескольких членов, включая \(5n\), \(4n\), \(i\) и \(Епі - ул\). Так как нам не даны конкретные значения для переменных \(n\), \(i\) и \(Епі - ул\), невозможно точно вычислить предел последовательности.

Если предположить, что всех переменных можно рассматривать как переменную \(n\), можно записать данную последовательность как \(9n\), где \(9 = 5 + 4 + 1 - 1 - 1\). Таким образом, предел последовательности будет зависеть от предела последовательности \(9n\). Утверждение \(9n\) имеет предел, равный бесконечности (\(\infty\)), так как при увеличении значения \(n\), значение \(9n\) также будет увеличиваться без ограничения.

Пожалуйста, уточните задачу, если есть конкретные значения для переменных \(n\), \(i\) и \(Епі - ул\), чтобы я мог предоставить более точный ответ.

В3. Чтобы найти сумму геометрической прогрессии 27, 9, 3, ..., мы можем использовать формулу для суммы членов геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\]

где \(S\) - сумма членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии.

В данном случае \(a = 27\) (первый член прогрессии), \(r = \frac{1}{3}\) (знаменатель прогрессии, так как каждый следующий член равен предыдущему, поделенному на 3), и \(n\) равно бесконечности.

Поскольку количество членов прогрессии (\(n\)) стремится к бесконечности, мы будем иметь дело с "бесконечной" суммой. Для этого нам нужно учесть, что формула для суммы членов геометрической прогрессии корректна только для некоторых значений \(r\) (те, для которых \(|r| < 1\)). В противном случае, сумма может не иметь значения или может быть бесконечностью, как в этом случае.

В подобной ситуации, когда \(|r| < 1\), сумма бесконечной геометрической прогрессии равна:

\[S = \frac{a}{1 - r}\]

Возвращаясь к задаче, мы можем подставить значения \(a\) и \(r\) в формулу:

\[S = \frac{27}{1 - \frac{1}{3}}\]

Выполнив вычисления, получаем:

\[S = \frac{27}{\frac{2}{3}} = \frac{27 \cdot 3}{2} = \frac{81}{2} = 40.5\]

Таким образом, сумма геометрической прогрессии 27, 9, 3, ... равна 40.5.

В4. Чтобы найти первый член бесконечной геометрической прогрессии, если знаменатель равен 4 и сумма равна 72, мы можем использовать формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1 - r}\]

где \(S\) - сумма членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

Мы знаем, что знаменатель равен 4 и сумма равна 72, поэтому мы можем записать:

\[72 = \frac{a}{1 - 4}\]

Решаем уравнение:

\[-3a = 72 \cdot -1\]
\[3a = 72\]
\[a = \frac{72}{3} = 24\]

Таким образом, первый член бесконечной геометрической прогрессии равен 24.

С1. Чтобы найти предел последовательности \(x = n^2 + 97 - 1/n\), мы можем анализировать отдельные части выражения и находить их пределы.

- Предел последовательности \(n^2\) будет зависеть от роста значения \(n\). Поскольку \(n\) стремится к бесконечности, предел \(n^2\) также будет равен бесконечности.

- 97 - константа, поэтому ее предел равен 97.

- Предел последовательности \(1/n\) будет зависеть от уменьшения значения \(n\). Поскольку \(n\) стремится к бесконечности, предел \(1/n\) будет равен 0.

Суммируя эти значения, мы получаем:

\[x = \infty + 97 - 0 = \infty + 97 = \infty\]

Таким образом, предел последовательности \(x = n^2 + 97 - \frac{1}{n}\) будет равен бесконечности.

С2. Для нахождения суммы геометрической прогрессии, для которой сумма первого и третьего членов равна 90, а сумма второго и четвертого равна \(S\), мы можем использовать формулы суммы членов геометрической прогрессии.

Пусть \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

Известно, что сумма первого и третьего членов равна 90:

\[a + ar^2 = 90\]

А также сумма второго и четвертого членов равна \(S\):

\[ar + ar^3 = S\]

Нам нужно найти значение \(S\).

Мы можем использовать метод замены, чтобы избавиться от неизвестных \(a\) и \(r\).

Первое уравнение можно умножить на \(r\):

\[ar + ar^3 = 90r\]

Затем вычесть это уравнение из второго:

\[(ar + ar^3) - (a + ar^2) = S - 90r\]

\[ar + ar^3 - a - ar^2 = S - 90r\]

\[a(r - 1 - r^2) = S - 90r\]

\[a(1 - r + r^2) = 90r - S\]

\[a = \frac{90r - S}{1 - r + r^2}\]

Теперь мы можем подставить это значение \(a\) в первое уравнение:

\[\frac{90r - S}{1 - r + r^2} + \frac{(90r - S)r^2}{1 - r + r^2} = 90\]

Мы получили квадратное уравнение с неизвестным \(r\). Решение этого уравнения позволит нам найти значение \(r\), а затем, используя это значение, мы сможем найти \(S\).

Пожалуйста, предоставьте значение \(S\), чтобы я мог продолжить решение этой задачи.