а) Каковы значения переменных а и d в уравнении дробно-линейной функции, если ее асимптоты имеют уравнение х=1, у=2?

Muha

57

Добро пожаловать! Давайте разберем вашу задачу.

a) Для начала определим, что такое дробно-линейная функция. Дробно-линейная функция представляет собой функцию вида \(f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}\), где \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) - это коэффициенты, переменные в задаче.

У нас дано, что асимптоты функции имеют уравнение \(x=1\) и \(y=2\). Для того чтобы найти значения \(a\) и \(d\), мы можем использовать информацию об асимптотах.

Когда \(x\) стремится к бесконечности, \(f(x)\) стремится к вертикальной асимптоте \(x=1\). Это означает, что \(cx+d\) должно равняться нулю, когда \(x\) стремится к бесконечности. То есть, \(c \cdot \infty + d = 0\). Поскольку произведение бесконечности на любое число всегда будет бесконечностью, мы можем заключить, что \(c \cdot \infty = \infty\) и следовательно, \(d = 0\).

Затем, когда \(y\) стремится к бесконечности, \(f(x)\) стремится к наклонной асимптоте \(y = 2\). Это означает, что \(\frac{ax+b}{cx+d}\) должно стремиться к некоторому числу \(k\) при \(x\) стремящемся к бесконечности. То есть, \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{ax+b}{cx+d} = k\). Заметим, что \(ax+b\) стремится к бесконечности быстрее, чем \(cx+d\), потому что \(a > c\) (так как у наклонной асимптоты уравнение \(y = 2\) имеет коэффициент при \(x\) равный 1). То есть, когда \(x\) стремится к бесконечности, \(\frac{ax+b}{cx+d}\) можно приближенно считать равным \(\frac{a}{c}\). Из этого получим, что \(\frac{a}{c} = k\).

Таким образом, значениями переменных \(a\) и \(d\) в уравнении дробно-линейной функции являются \(a = k \cdot c\) и \(d = 0\).

b) i) Мы должны привести функцию \(f(x) = ax + \frac{4}{x} - d\) к виду \(f(x) = \frac{k}{x - m} + n\).

Для этого мы сначала объединим все \(x\)-связанные члены вместе, а затем выразим общий знаменатель:

\[f(x) = ax + \frac{4}{x} - d = \frac{ax^2 - dx + 4}{x}\]

Теперь мы хотим разделить числитель на знаменатель, то есть поделить \(ax^2 - dx + 4\) на \(x\):

\[f(x) = \frac{ax^2 - dx + 4}{x} = \frac{k}{x - m} + n\]

Где \(k\), \(m\), и \(n\) - это новые значения, которые мы ищем. Обратите внимание, что \(k\) является коэффициентом перед \((x - m)\), поэтому он будет соответствовать коэффициенту \(a\) из исходной функции.

Теперь, чтобы разделить \(ax^2 - dx + 4\) на \(x\), мы должны разложить \(ax^2\) и \(-dx\) на части с помощью деления полиномов:

\[\frac{ax^2 - dx + 4}{x} = \frac{a(x^2 - \frac{d}{a}x + \frac{4}{a})}{x} = a(x - \frac{d}{a}) + \frac{4}{x}\]

Теперь сравниваем это с \(\frac{k}{x - m} + n\) и получаем:

\[k = a, \quad m = \frac{d}{a}, \quad n = 0\]

ii) Чтобы найти точки пересечения функции с осями координат, мы должны найти значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\). То есть:

\[ax + \frac{4}{x} - d = 0\]

Мы можем умножить это на \(x\) чтобы избавиться от дроби:

\[ax^2 + 4 - dx = 0\]

Затем, мы можем решить это квадратное уравнение для \(x\), используя квадратное уравнение \(ax^2 - dx + 4 = 0\).

iii) Чтобы построить график функции, мы можем использовать полученные значения переменных \(a\), \(d\), \(k\), \(m\) и \(n\).

Для начала, мы знаем, что функция имеет вертикальную асимптоту \(x = 1\). Мы также знаем, что функция имеет наклонную асимптоту \(y = 2\). Мы можем нарисовать эти асимптоты на графике.

Затем мы можем использовать полученные значения \(a\), \(d\), \(k\), \(m\) и \(n\), чтобы нарисовать график функции \(f(x)\). Например, мы можем выбрать несколько значений \(x\), подставить их в функцию и получить соответствующие значения \(y\). Мы повторяем эту процедуру для разных \(x\) и строим график, соединяя полученные точки.

Ошибки могут быть допущены при определении значений \(a\) и \(d\) и решении уравнений, поэтому убедитесь в правильности результатов перед использованием их для построения графика.