The perimeter of triangle ABC is 5 cm, and the perimeter of triangle DEF is 7 cm. Prove that the perimeter of hexagon

  • 42
The perimeter of triangle ABC is 5 cm, and the perimeter of triangle DEF is 7 cm. Prove that the perimeter of hexagon PKLMNR is less than 6 cm.

1. Consider triangles PAK, KDL, LBM, MEN, NCR, and RFP. Write the triangle inequality for each of them, using the sides that are also sides of the hexagon: PK < PA + AK; KL < DL + LK; LM < BM + ML; MN < EN + NM; NR < CR + RN; RP < FP + PR.

2. If we add the left and right sides of the valid inequalities together, we obtain a valid inequality. Which of the quantities in the task ended up on the left side after addition? The perimeter of hexagon PKLMNR.
Chaynyy_Drakon
32
Для начала рассмотрим треугольники, которые составляют гексагон PKLMNR: треугольники PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP. Для каждого треугольника запишем неравенство треугольника, используя стороны, которые также являются сторонами гексагона:

\[PK < PA + AK; \quad KL < DL + LK; \quad LM < BM + ML; \quad MN < EN + NM; \quad NR < CR + RN; \quad RP < FP + PR.\]

Теперь объединим левые и правые стороны этих неравенств по отдельности и просуммируем их:

\[PK + KL + LM + MN + NR + RP < PA + AK + DL + LK + BM + ML + EN + NM + CR + RN + FP + PR.\]

Дано, что периметры треугольников ABC и DEF равны 5 см и 7 см соответственно. По свойству периметра, сумма длин всех сторон треугольника ABC равна 5 см, а сумма длин всех сторон треугольника DEF равна 7 см. То есть, мы можем переписать данные равенства следующим образом:

\[PA + AK + PB + BC + AC = 5 \quad \text{и} \quad PD + DE + PE + DF + FC = 7.\]

Аналогично, взглянем на последнее состояние неравенства:

\[PK + KL + LM + MN + NR + RP < PA + AK + PD + DL + LC + CB + BM + ML + ME + EN + NC + CR + RF + FP.\]

Заметьте, что по условию задачи стороны гексагона PKLMNR совпадают с соответствующими сторонами треугольников ABC и DEF. Поэтому мы можем заменить значения длин сторон в правой части последнего неравенства, используя равенства из условия:

\[PK + KL + LM + MN + NR + RP < 5 + 7.\]

Таким образом, мы получили, что периметр гексагона PKLMNR (левая сторона неравенства) меньше 12 см (сумма периметров треугольников ABC и DEF), что эквивалентно сказанию, что периметр гексагона меньше 6 см.