The perimeter of triangle ABC is 5 cm, and the perimeter of triangle DEF is 7 cm. Prove that the perimeter of hexagon
The perimeter of triangle ABC is 5 cm, and the perimeter of triangle DEF is 7 cm. Prove that the perimeter of hexagon PKLMNR is less than 6 cm.
1. Consider triangles PAK, KDL, LBM, MEN, NCR, and RFP. Write the triangle inequality for each of them, using the sides that are also sides of the hexagon: PK < PA + AK; KL < DL + LK; LM < BM + ML; MN < EN + NM; NR < CR + RN; RP < FP + PR.
2. If we add the left and right sides of the valid inequalities together, we obtain a valid inequality. Which of the quantities in the task ended up on the left side after addition? The perimeter of hexagon PKLMNR.
1. Consider triangles PAK, KDL, LBM, MEN, NCR, and RFP. Write the triangle inequality for each of them, using the sides that are also sides of the hexagon: PK < PA + AK; KL < DL + LK; LM < BM + ML; MN < EN + NM; NR < CR + RN; RP < FP + PR.
2. If we add the left and right sides of the valid inequalities together, we obtain a valid inequality. Which of the quantities in the task ended up on the left side after addition? The perimeter of hexagon PKLMNR.
Chaynyy_Drakon 32
Для начала рассмотрим треугольники, которые составляют гексагон PKLMNR: треугольники PAK, KDL, LBM, MEN, NCR и RFP. Для каждого треугольника запишем неравенство треугольника, используя стороны, которые также являются сторонами гексагона:\[PK < PA + AK; \quad KL < DL + LK; \quad LM < BM + ML; \quad MN < EN + NM; \quad NR < CR + RN; \quad RP < FP + PR.\]
Теперь объединим левые и правые стороны этих неравенств по отдельности и просуммируем их:
\[PK + KL + LM + MN + NR + RP < PA + AK + DL + LK + BM + ML + EN + NM + CR + RN + FP + PR.\]
Дано, что периметры треугольников ABC и DEF равны 5 см и 7 см соответственно. По свойству периметра, сумма длин всех сторон треугольника ABC равна 5 см, а сумма длин всех сторон треугольника DEF равна 7 см. То есть, мы можем переписать данные равенства следующим образом:
\[PA + AK + PB + BC + AC = 5 \quad \text{и} \quad PD + DE + PE + DF + FC = 7.\]
Аналогично, взглянем на последнее состояние неравенства:
\[PK + KL + LM + MN + NR + RP < PA + AK + PD + DL + LC + CB + BM + ML + ME + EN + NC + CR + RF + FP.\]
Заметьте, что по условию задачи стороны гексагона PKLMNR совпадают с соответствующими сторонами треугольников ABC и DEF. Поэтому мы можем заменить значения длин сторон в правой части последнего неравенства, используя равенства из условия:
\[PK + KL + LM + MN + NR + RP < 5 + 7.\]
Таким образом, мы получили, что периметр гексагона PKLMNR (левая сторона неравенства) меньше 12 см (сумма периметров треугольников ABC и DEF), что эквивалентно сказанию, что периметр гексагона меньше 6 см.