Точка O является пересечением диагоналей куба, а его сторона равна 6 см. Найдите результирующий вектор и его длину

Скрытый_Тигр

48

1. Решение:

Для начала найдем вектор AO. Так как O является пересечением диагоналей куба, то AO - это половина диагонали куба. Длина стороны куба равна 6 см, поэтому длина диагонали равна \(\sqrt{(6)^2 + (6)^2 + (6)^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\) см. А значит, вектор AO - это \(\frac{1}{2}\) от диагонали, то есть \(\frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\) см.

Теперь найдем вектор CA. Для этого рассмотрим треугольник AOC, где OC - это сторона куба, то есть 6 см. Используя теорему Пифагора, найдем длину AC: \(AC = \sqrt{(6)^2 + (6)^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) см. Значит, вектор CA - это AC, умноженный на -1 (обратный вектор). То есть CA = -6\(\sqrt{2}\) см.

Теперь умножим вектор AO на 2: \(2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\) см.
И умножим вектор CA на 0,5: \(0,5 \cdot (-6\sqrt{2}) = -3\sqrt{2}\) см.

Сложим результаты: \(6\sqrt{3} + (-3\sqrt{2}) = 6\sqrt{3} - 3\sqrt{2}\) см.

Теперь найдем длину этого вектора. Для этого воспользуемся формулой длины вектора \(\sqrt{a^2 + b^2}\), где \(a\) и \(b\) - компоненты вектора. В данном случае \(a = 6\sqrt{3}\) и \(b = -3\sqrt{2}\).

Длина вектора равна \(\sqrt{(6\sqrt{3})^2 + (-3\sqrt{2})^2} = \sqrt{108 + 18} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}\) см.

2. Решение:

Найдем вектор DB. Вектор DB - это половина диагонали куба, так как D является серединой стороны куба. Длина стороны куба равна 6 см, поэтому длина диагонали равна \(\sqrt{(6)^2 + (6)^2 + (6)^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}\) см. Значит, вектор DB - это \(\frac{1}{2}\) от диагонали, то есть \(\frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\) см.

Теперь найдем вектор KK1. Рассмотрим треугольник DK1K, где K1K - это половина диагонали грани куба. Длина грани куба равна 6 см, поэтому длина диагонали грани равна \(\sqrt{(6)^2 + (6)^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\) см. Значит, вектор KK1 - это \(\frac{1}{2}\) от диагонали грани, то есть \(\frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\) см.

Умножим вектор DB на 0,5: \(0,5 \cdot 3\sqrt{3} = 1,5\sqrt{3}\) см.
И умножим вектор KK1 на 0,5: \(0,5 \cdot 3\sqrt{2} = 1,5\sqrt{2}\) см.

Теперь добавим двойной вектор KO. Вектор KO - это две диагонали куба, которые равны \(2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\) см.

Сложим результаты: \(1,5\sqrt{3} + 1,5\sqrt{2} + 12\sqrt{3} = 13,5\sqrt{3} + 1,5\sqrt{2}\) см.

Найдем длину этого вектора, используя формулу длины вектора: \(\sqrt{(13,5\sqrt{3})^2 + (1,5\sqrt{2})^2} = \sqrt{182,25 \cdot 3 + 2,25 \cdot 2} = \sqrt{547,5 + 4,5} = \sqrt{552} \approx 23,5\) см.