Каково доказательство равенства расстояния между точками C и D ширине реки?

Yarilo

64

Чтобы доказать равенство расстояния между точками C и D ширине реки, нам понадобится использовать основные свойства геометрии. Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Обозначение точек и осей
Для начала, представим реку как отрезок прямой. Обозначим точку, где располагается наша первая точка C, как C, а точку на другой стороне реки, где находится точка D, обозначим как D.

Теперь введем систему координат. Выберем произвольную точку на реке и обозначим ее как O. Определим ось Ox, которая будет проходить через O и перпендикулярна реке. Ось Oy будет перпендикулярна оси Ox и будет проходить через середину реки.

Шаг 2: Построение прямых
С помощью указанных осей и точек C и D мы построим прямые, которые будут перпендикулярны реке.

Построим перпендикуляр от точки C к оси Ox и обозначим пересечение этой прямой с осью Ox как A. Аналогично, построим перпендикуляр от точки D к оси Ox и обозначим пересечение этой прямой с осью Ox как B.

Шаг 3: Аргументация равенства расстояний
Теперь у нас есть треугольники OAC и OBD, которые имеют одинаковые прямые углы при вершинах O и C (или O и D) и общую гипотенузу OD (или OC). Поэтому эти треугольники являются подобными.

В силу подобия треугольников OAC и OBD, расстояния между точками O и A, а также между точками O и B, будут пропорциональны. То есть, если расстояние между O и A равно r, а расстояние между O и B равно s, то верно следующее соотношение:

\(\frac{r}{s} = \frac{OC}{OD}\)

Но поскольку треугольники OAC и OBD подобны, отношение сторон OC и OD должно быть равно отношению сторон AC и BD:

\(\frac{OC}{OD} = \frac{AC}{BD}\)

Шаг 4: Равенство расстояний
Вспомним, что AC и BD являются прямыми, перпендикулярными реке и проходящими через точки C и D соответственно. Поскольку эти прямые пересекают ось Oy в ее середине, расстояние между точками A и B будет равно ширине реки.

Таким образом, мы можем записать следующее:

\(\frac{OC}{OD} = \frac{AC}{BD} = 1\)

Отсюда следует, что \(OC = OD\). То есть, расстояние между точками C и D равно ширине реки.

Таким образом, мы доказали равенство расстояния между точками C и D ширине реки, используя свойства подобия треугольников и перпендикулярности прямых, проходящих через указанные точки.