Требуется найти площадь полной поверхности пирамиды SABC, если высота SA пирамиды равна 9, а основание
Требуется найти площадь полной поверхности пирамиды SABC, если высота SA пирамиды равна 9, а основание ВС равнобедренного треугольника АВС имеет длину 10, а боковая сторона равна.
Raisa 21
Длина основания ВС равнобедренного треугольника АВС составляет 10, а боковая сторона пирамиды равна \(x\). Для того чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды SABC, нам нужно найти площадь всех её боковых граней и площадь основания.Получим площадь основания. Так как основание пирамиды является равнобедренным треугольником, то можем найти длину его высоты из теоремы Пифагора. Поскольку основание ВС равностороннего треугольника, то угол между его высотой и основанием равен 60 градусам. Пусть высота равновеликого треугольника АВС равно \(h\). Тогда можно записать соотношение:
\[\frac{1}{2} \cdot h^2 = 10^2 - \left(\frac{10}{2}\right)^2\]
\[\frac{1}{2} \cdot h^2 = 100 - 25\]
\[h^2 = 150\]
\[h = \sqrt{150}\]
\[h = 5\sqrt{6}\]
Теперь, зная высоту треугольника, можем найти площадь основания:
\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 5\sqrt{6} = 25\sqrt{6}\]
Осталось найти площадь всех боковых граней пирамиды. Для этого нам потребуется найти периметр основания трегольника и вычислить площадь треугольника.
Периметр равнобедренного треугольника можно найти, сложив длины всех его сторон:
\[P = 2 \cdot 10 + x = 20 + x\]
Площадь треугольника можно найти, использовав формулу Герона. Для этого нам потребуется знать длины всех трех сторон треугольника.
Стороны треугольника состоят из основания ВС и боковой стороны AB:
Сторона ВА равна \(x\) (так как ВА является боковой стороной пирамиды).
Применяя теорему Пифагора, найдем длину стороны АС:
\[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{x^2 - \left(\frac{10}{2}\right)^2} = \sqrt{x^2 - 25}\]
Теперь можем применить формулу Герона:
\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p(p - x)(p - x)(p - \sqrt{x^2 - 25})}\]
Где \(p\) - полупериметр треугольника:
\[p = \frac{20 + x + \sqrt{x^2 - 25}}{2}\]
Теперь, зная площадь треугольника и периметр основания, можем найти площадь всех его боковых граней:
\[S_{\text{граней}} = P \cdot S_{\text{треугольника}} = (20 + x) \cdot \sqrt{p(p - x)(p - x)(p - \sqrt{x^2 - 25})}\]
Площадь полной поверхности пирамиды SABC равна сумме площади основания и площади всех её боковых граней:
\[S_{\text{полная}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{граней}} = 25\sqrt{6} + (20 + x) \cdot \sqrt{p(p - x)(p - x)(p - \sqrt{x^2 - 25})}\]
Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды SABC составляет \(25\sqrt{6} + (20 + x) \cdot \sqrt{p(p - x)(p - x)(p - \sqrt{x^2 - 25})}\). Пожалуйста, убедитесь, что вам предоставлено значение \(x\), чтобы мы могли точно вычислить эту площадь.