Требуется найти площадь полной поверхности пирамиды SABC, если высота SA пирамиды равна 9, а основание

Raisa

21

Длина основания ВС равнобедренного треугольника АВС составляет 10, а боковая сторона пирамиды равна $x$. Для того чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды SABC, нам нужно найти площадь всех её боковых граней и площадь основания.

Получим площадь основания. Так как основание пирамиды является равнобедренным треугольником, то можем найти длину его высоты из теоремы Пифагора. Поскольку основание ВС равностороннего треугольника, то угол между его высотой и основанием равен 60 градусам. Пусть высота равновеликого треугольника АВС равно $h$. Тогда можно записать соотношение:

$$\frac{1}{2}\cdot h^2={10}^2-{\left(\frac{10}{2}\right)}^2$$
$$\frac{1}{2}\cdot h^2=100-25$$
$$h^2=150$$
$$h=\sqrt{150}$$
$$h=5\sqrt{6}$$

Теперь, зная высоту треугольника, можем найти площадь основания:

$$S_{\text{основания}}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 5\sqrt{6}=25\sqrt{6}$$

Осталось найти площадь всех боковых граней пирамиды. Для этого нам потребуется найти периметр основания трегольника и вычислить площадь треугольника.

Периметр равнобедренного треугольника можно найти, сложив длины всех его сторон:

$$P=2\cdot 10+x=20+x$$

Площадь треугольника можно найти, использовав формулу Герона. Для этого нам потребуется знать длины всех трех сторон треугольника.

Стороны треугольника состоят из основания ВС и боковой стороны AB:

Сторона ВА равна $x$ (так как ВА является боковой стороной пирамиды).

Применяя теорему Пифагора, найдем длину стороны АС:

$$AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{x^2-{\left(\frac{10}{2}\right)}^2}=\sqrt{x^2-25}$$

Теперь можем применить формулу Герона:

$$S_{\text{треугольника}}=\sqrt{p(p-x)(p-x)(p-\sqrt{x^2-25})}$$

Где $p$ - полупериметр треугольника:

$$p=\frac{20+x+\sqrt{x^2-25}}{2}$$

Теперь, зная площадь треугольника и периметр основания, можем найти площадь всех его боковых граней:

$$S_{\text{граней}}=P\cdot S_{\text{треугольника}}=(20+x)\cdot \sqrt{p(p-x)(p-x)(p-\sqrt{x^2-25})}$$

Площадь полной поверхности пирамиды SABC равна сумме площади основания и площади всех её боковых граней:

$$S_{\text{полная}}=S_{\text{основания}}+S_{\text{граней}}=25\sqrt{6}+(20+x)\cdot \sqrt{p(p-x)(p-x)(p-\sqrt{x^2-25})}$$

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды SABC составляет $25\sqrt{6}+(20+x)\cdot \sqrt{p(p-x)(p-x)(p-\sqrt{x^2-25})}$. Пожалуйста, убедитесь, что вам предоставлено значение $x$, чтобы мы могли точно вычислить эту площадь.