Требуется найти вероятность для двух стрелков, стреляющих по мишени 5 раз, чтобы они оба попали в мишень ровно 2 раза

Солнечная_Звезда_1431

7

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо воспользоваться понятием биномиального распределения. Для каждого стрелка существует два возможных исхода: попадание или промах. В данном случае, требуется найти вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень ровно по два раза каждый из пяти выстрелов.

Для начала, давайте найдем вероятность того, что один стрелок попадет в мишень ровно два раза из пяти попыток. Для этого воспользуемся формулой биномиального распределения:

\[P(X=k) = C^k_n \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Где:
- \(P(X=k)\) - вероятность получить k успехов
- \(C^k_n\) - количество сочетаний из n элементов по k
- \(p\) - вероятность одного успеха
- \(n\) - общее количество попыток

Для первого стрелка, вероятность попадания составляет 0,7 и количество попыток равно 5:

\[P(X=2) = C^2_5 \cdot 0,7^2 \cdot (1-0,7)^{5-2}\]

Рассчитаем это значение:

\[P(X=2) = C^2_5 \cdot 0,7^2 \cdot 0,3^3\]

\[P(X=2) = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} \cdot 0,7^2 \cdot 0,3^3\]

\[P(X=2) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 0,7^2 \cdot 0,3^3\]

\[P(X=2) = 10 \cdot 0,49 \cdot 0,027\]

\[P(X=2) \approx 0,1323\]

Аналогично, для второго стрелка с вероятностью попадания 0,6 и количеством попыток 5, мы также получаем вероятность попадания дважды:

\[P(X=2) = C^2_5 \cdot 0,6^2 \cdot 0,4^3\]

Вычисляем:

\[P(X=2) = 10 \cdot 0,36 \cdot 0,064\]

\[P(X=2) \approx 0,2304\]

Таким образом, чтобы оба стрелка попали в мишень ровно по два раза каждый из пяти выстрелов, нам необходимо перемножить вероятности обоих стрелков:

\[P = P(X=2) \cdot P(X=2) = 0,1323 \cdot 0,2304\]

\[P \approx 0,0304\]

Таким образом, вероятность того, что оба стрелка попадут в мишень ровно по два раза каждый, составляет примерно 0,0304 или около 3,04%.