Требуется определить вероятность попадания точки, произвольно выбранной внутри шара, внутрь вписанной в него правильной
Требуется определить вероятность попадания точки, произвольно выбранной внутри шара, внутрь вписанной в него правильной треугольной пирамиды. Значение a равно 4R/√6. Обратите внимание, что ответ должен быть приближенно равен 2/3√3п≈0.
Magicheskiy_Edinorog 12
Для решения данной задачи нужно определить отношение объема вписанной правильной треугольной пирамиды к объему шара.Прежде всего, определим объем шара. Объем шара можно вычислить по формуле:
\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3}\pi r^3\]
где \(r\) - радиус шара.
В нашем случае значение a равно \(\frac{4R}{\sqrt{6}}\), где R - радиус вписанного шара. Так как треугольная пирамида вписана в шар, то значит, вершина пирамиды находится на поверхности шара. Тогда, радиус шара будет равен половине высоты пирамиды.
Так как в правильной треугольной пирамиде все ребра равны и образуют правильный треугольник, то можно определить высоту пирамиды по формуле:
\[h_{\text{пирамиды}} = \frac{2}{\sqrt{3}}a\]
Теперь, чтобы определить объем пирамиды, нужно умножить площадь основания на высоту и разделить полученное значение на 3:
\[V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3}S_{\text{основания}} \cdot h_{\text{пирамиды}}\]
Площадь основания можно найти по формуле для площади правильного треугольника:
\[S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\]
Теперь можно найти объем пирамиды и объем шара, а затем определить вероятность попадания точки внутрь пирамиды путем деления объема пирамиды на объем шара.
\[P = \frac{V_{\text{пирамиды}}}{V_{\text{шара}}}\]
Подставляя значения и упрощая выражение, получаем:
\[P = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}a}{\frac{4}{3}\pi \left(\frac{2}{\sqrt{3}}a\right)^3}\]
В итоге получаем:
\[P = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}a}{\frac{4}{3}\pi \left(\frac{2}{\sqrt{3}}a\right)^3}\]
Сокращаем и упрощаем выражение:
\[P = \frac{2a^3}{6\sqrt{3}\pi a^3} = \frac{1}{3\sqrt{3}\pi}\]
Таким образом, вероятность попадания точки внутри вписанной в шар правильной треугольной пирамиды приближенно равна \(\frac{1}{3\sqrt{3}\pi}\), что, с учетом описанных в условии приближений, примерно равно \(0.192\) (округлим до трех знаков после запятой).