Какова вероятность, что среди 4 наудачу взятых журналов будет не менее трех в переплете, если на книжной полке имеется

Звездопад_В_Небе

35

Для решения данной задачи нам необходимо определить количество всех возможных комбинаций из 4 журналов, а затем количество комбинаций, в которых будет не менее трех журналов в переплете.

Количество всех возможных комбинаций из 4 журналов можно определить с помощью формулы сочетаний. Известно, что количество сочетаний из \(n\) элементов по \(k\), обозначается как \(C(n, k)\) и вычисляется по следующей формуле:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(!\) означает факториал.

В данном случае, нам необходимо найти количество всех возможных комбинаций из 4 журналов из общего количества 8 журналов, поэтому:

\[C(8, 4) = \frac{{8!}}{{4! \cdot (8-4)!}}\]

Теперь рассмотрим количество комбинаций, в которых будет не менее трех журналов в переплете. Мы можем разделить задачу на два возможных случая:
1) Когда все четыре журнала берутся из переплетенных.
2) Когда три журнала берутся из переплетенных и один из непереплетенных.

Давайте рассмотрим каждый случай отдельно:

1) Четыре журнала выбраны из пяти переплетенных, поэтому просто посчитаем количество сочетаний:

\[C(5, 4) = \frac{{5!}}{{4! \cdot (5-4)!}} = \frac{{5!}}{{4! \cdot 1!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}}{{4 \cdot 3 \cdot 2}} = 5\]

2) Три журнала выбраны из пяти переплетенных, и один из трех непереплетенных. Также посчитаем количество сочетаний:

\[C(5, 3) \cdot C(3, 1) = \frac{{5!}}{{3! \cdot (5-3)!}} \cdot \frac{{3!}}{{1! \cdot (3-1)!}} = \frac{{5!}}{{3! \cdot 2!}} \cdot \frac{{3!}}{{1! \cdot 2!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} \cdot \frac{{3 \cdot 2}}{{1 \cdot 2}} = 10 \cdot 3 = 30\]

Теперь нам необходимо сложить количество комбинаций из каждого случая, чтобы получить общее количество комбинаций:

Общее количество комбинаций = Количество комбинаций из первого случая + Количество комбинаций из второго случая

Общее количество комбинаций = 5 + 30 = 35

Таким образом, вероятность того, что среди 4 наудачу взятых журналов будет не менее трех в переплете, равна \(\frac{{35}}{{C(8, 4)}}\).