Требуется проверить сходимость ряда, состоящего из слагаемых 1/ln2, 1/ln3 и 1/ln4

Радио

21

Хорошо, для начала давайте рассмотрим данный ряд:

\[1/\ln2 + 1/\ln3 + 1/\ln4 \]

Чтобы проверить сходимость этого ряда, мы будем использовать интегральный признак сходимости. Давайте разберемся с этим.

1. Интегральный признак сходимости гласит, что если функция \(f(x)\) удовлетворяет следующим условиям:
- \(f(x) > 0\) для всех \(x \geq n_0\), где \(n_0\) - некоторое фиксированное число,
- \(f(x)\) убывает (или не возрастает) на \([n_0, +\infty)\),

то ряд \(\sum_{n=n_0}^{\infty} f(n)\) сходится, если и только если сходится интеграл от \(f(x)\) на \([n_0, +\infty)\).

2. В нашем случае у нас есть ряд с положительными слагаемыми. Чтобы применить интегральный признак, необходимо найти функцию \(f(x)\), которая аппроксимирует наши слагаемые.

Заметим, что \(\ln(n)\) возрастает медленнее, чем \(n\), поэтому мы можем использовать \(\ln(n+1)\) вместо \(\ln(n)\) в нашей функции.

Таким образом, мы можем выбрать \(f(x) = 1/\ln(x+1)\).

3. Теперь давайте проверим условия интегрального признака:

- \(f(x) = 1/\ln(x+1) > 0\) для всех \(x \geq 1\) (так как нам дано, что \(n_0 = 1\)).
- \(f(x) = 1/\ln(x+1)\) убывает на \([1, +\infty)\), так как \(\ln(x+1)\) возрастает медленнее, чем \(x\).

Оба условия выполняются.

4. Теперь нам нужно проверить сходимость интеграла от функции \(f(x)\) на \([1, +\infty)\). Для этого вычислим этот интеграл:

\[\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\ln(x+1)} \, dx\]

Чтобы вычислить этот интеграл, мы можем сделать замену переменных. Положим \(u = \ln(x+1)\), тогда \(du = \frac{1}{x+1} \, dx\).

При использовании этой замены переменных наш интеграл примет следующий вид:

\[\int_{\ln(1+1)}^{+\infty} \frac{1}{u} \, du\]

\[\ln|u| \bigg|_{\ln(1+1)}^{+\infty}\]

\[\ln(u) \bigg|_{\ln(1+1)}^{+\infty}\]

Теперь вычислим значения при верхнем и нижнем пределах:

\[\ln(+\infty) - \ln(\ln(2))\]

Так как \(\ln(+\infty) = +\infty\), получаем:

\[+\infty - \ln(\ln(2)) = +\infty\]

Значение этого интеграла равно бесконечности.

5. Итак, мы получили, что интеграл от \(f(x) = 1/\ln(x+1)\) на \([1, +\infty)\) сходится к бесконечности.

6. Следовательно, по интегральному признаку, наш ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n+1)}\) также расходится.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что ряд, состоящий из слагаемых \(\frac{1}{\ln2}, \frac{1}{\ln3}\) и \(\frac{1}{\ln4}\) не сходится.