Как избавиться от иррациональности в знаменателе следующих дробей: 12/7√3; 18/√7+1​?

Veselyy_Pirat_5855

59

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, нужно применить технику, называемую рационализацией знаменателя. Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.

1. Задача: Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби \(\frac{12}{7\sqrt{3}}\).

Шаг 1: Для начала необходимо умножить как числитель, так и знаменатель дроби на сопряженное значение иррационального числа \(\sqrt{3}\). Сопряженное значение для \(\sqrt{3}\) будет \(-\sqrt{3}\), потому что при умножении \(\sqrt{3}\) на \(-\sqrt{3}\) получится рациональное число.

\(\frac{12}{7\sqrt{3}} \cdot \frac{-\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} = \frac{-12\sqrt{3}}{7 \cdot 3} = \frac{-4\sqrt{3}}{7}\)

Ответ: Дробь \(\frac{12}{7\sqrt{3}}\) может быть записана как \(\frac{-4\sqrt{3}}{7}\).

2. Задача: Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби \(\frac{18}{\sqrt{7}+1}\).

Шаг 1: Для начала умножим как числитель, так и знаменатель дроби на равносильное выражение, чтобы устранить сумму в знаменателе. В данном случае, чтобы избавиться от суммы \(\sqrt{7}+1\), будем использовать разность \(\sqrt{7}-1\), так как произведение суммы и разности всегда будет иметь рациональное значение.

\(\frac{18}{\sqrt{7}+1} \cdot \frac{\sqrt{7}-1}{\sqrt{7}-1} = \frac{18(\sqrt{7}-1)}{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)} = \frac{18(\sqrt{7}-1)}{7-1} = \frac{18(\sqrt{7}-1)}{6}\)

Шаг 2: Упростим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 6.

\(\frac{18(\sqrt{7}-1)}{6} = \frac{3(\sqrt{7}-1)}{1}\)

Ответ: Дробь \(\frac{18}{\sqrt{7}+1}\) может быть записана как \(\frac{3(\sqrt{7}-1)}{1}\).

Теперь задачи решены подробно и пошагово.