У какого радиуса окружности, вписанной в треугольник, у которого m и n делят боковые стороны ab и cb в соотношении

Плюшка

40

Для начала, давайте вспомним некоторые основные свойства треугольников и окружностей. Окружность, вписанная в треугольник, касается каждой из его сторон в одной точке. К тому же, она также касается сторон треугольника под прямым углом.

Для начала рассмотрим треугольник ABC. По условию, сторона AB делится отношением 1:3, значит, отношение длин сторон равно \(\frac{AB}{CB} = \frac{1}{3}\). Мы также знаем, что периметр треугольника равен \(\frac{128}{3}\) и m*n = 12.

Давайте представим себе, что точка D - это точка касания окружности с стороной AB, точка E - это точка касания окружности с стороной BC, и точка F - это точка касания окружности с стороной CA.

Так как касательная, проведенная к окружности из точки касания, является перпендикуляром к радиусу, и AD и BD делятся отношением 1:3, то мы можем предположить, что AD = x и BD = 3x (мы применили отношение длин сторон).

Теперь мы можем представить себе высоты треугольников ADF и BDF, проходящих через точки D и F также к прямым AB и BC соответственно.

Мы можем использовать свойство прямоугольного треугольника и медиану, проведенную к гипотенузе, чтобы выразить высоту AD. То есть, мы можем записать:

\[AD^2 + (AF - FD)^2 = DF^2 \]

То же самое справедливо и для BD. Таким образом, у нас есть следующие равенства:

\[AD^2 + AF^2 - 2 \cdot AD \cdot AF + FD^2 = DF^2 \]
\[BD^2 + BF^2 - 2 \cdot BD \cdot BF + FD^2 = DF^2 \]

Мы также знаем, что периметр треугольника ABC равен сумме длин его сторон:

\[AB + BC + CA = \frac{128}{3} \]

Подставим значения длин сторон, выраженные через x:

\[x + 3x + AF + BF + CA = \frac{128}{3} \]

Также, зная, что периметр треугольника равен сумме длин сторон, мы можем установить следующее равенство:

\[2 \cdot AB + 2 \cdot BC + 2 \cdot CA = \frac{128}{3} \]

Учитывая, что AB = 4x, BC = 12x и CA = 16x (мы использовали отношение сторон), мы можем записать:

\[8x + 24x + 32x = \frac{128}{3} \]

\[64x = \frac{128}{3} \]

\[x = \frac{1}{6} \]

Теперь у нас есть значение x, что означает, что AD = \(\frac{1}{6}\), BD = \(\frac{1}{2}\), AF = \(\frac{1}{6}\), и BF = \(\frac{1}{2}\).

Так как окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон под прямым углом, то AD, BD, AF и BF являются радиусами вписанной окружности.

Значит, радиус окружности равен \( \frac{1}{6} \) или \( \frac{1}{2} \).

Ответ: радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, может быть равен \( \frac{1}{6} \) или \( \frac{1}{2} \).