У нас есть ромб с одной диагональю длиной 14 см. Нам нужно найти скалярное произведение следующих векторов: 1. Вектор

Solnechnyy_Podryvnik_7084

30

Хорошо, давайте решим задачу по порядку.

1. Для нахождения скалярного произведения двух векторов необходимо перемножить соответствующие координаты двух векторов и сложить полученные произведения. В данном случае у нас есть векторы \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{AD}\).

Вектор \(\overrightarrow{DC}\) мы можем найти, зная длину его диагонали ромба. Длина диагонали ромба равна 14 см.

Для начала, найдем длину стороны ромба. Поскольку ромб имеет две равные диагонали, то он также является параллелограммом. Из свойств параллелограмма известно, что диагонали ромба перпендикулярны между собой и делятся пополам. Следовательно, половина диагонали ромба равна 7 см.

Для нахождения вектора \(\overrightarrow{DC}\) нам понадобится знать координаты его точек D и C. Пусть координаты точки D равны (0, 0), то есть D(0, 0), а координаты точки C равны (7, 0), то есть C(7, 0).

Теперь мы можем выразить вектор \(\overrightarrow{DC}\) через его координаты:

\(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D} = (7, 0) - (0, 0) = (7, 0)\).

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{DC}\) имеет координаты (7, 0).

Теперь вектор \(\overrightarrow{AD}\). Для его нахождения нам также понадобятся координаты его точек A и D. Пусть координаты точки A равны (0, 7), то есть A(0, 7).

Выражаем вектор \(\overrightarrow{AD}\) через его координаты:

\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} = (0, 0) - (0, 7) = (0, -7)\).

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{AD}\) имеет координаты (0, -7).

Теперь, чтобы найти скалярное произведение \(\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{AD}\), перемножим соответствующие координаты векторов и сложим полученные произведения:

\(\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{AD} = (7 \cdot 0) + (0 \cdot (-7)) = 0\).

Ответ: Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) равно 0.

2. Теперь рассмотрим векторы \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\).

Для начала, определим координаты точек O, A и B для нахождения векторов.

Поскольку ромб имеет одну диагональ длиной 14 см, то он также имеет радиус вписанной окружности, который является половиной диагонали ромба. Следовательно, радиус вписанной окружности равен \(14/2 = 7\) см.

Точка O - центр вписанной окружности. То есть O - точка пересечения диагоналей ромба.

Положим координаты точки O равными (0, 0), то есть O(0, 0).

Для нахождения координат точек A и B воспользуемся равенством сторон ромба. Так как все стороны ромба равны между собой, то и расстояния от точки O до точек A и B также равны. Расстояние от точки O до точки A равно радиусу вписанной окружности, то есть 7 см.

Если положить координаты точки A равными (x, y), то есть A(x, y), то расстояние от точки O до точки A можно выразить следующим образом:

\(\sqrt{x^2 + y^2} = 7\).

Так как точка A находится на горизонтальной оси (Ox), то y = 0. Подставляем значение y в уравнение:

\(\sqrt{x^2 + 0^2} = 7\),
\(x^2 = 49\),
\(x = \pm 7\).

Таким образом, координаты точки A могут быть A(7, 0) или A(-7, 0). Обратите внимание, что ромб симметричен относительно центра, поэтому выбор знака зависит от вашего предпочтения.

Теперь находим вектор \(\overrightarrow{OA}\). Для этого выразим его через координаты точек O и A:

\(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{O} = (7, 0) - (0, 0) = (7, 0)\).

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{OA}\) имеет координаты (7, 0).

Теперь находим вектор \(\overrightarrow{OB}\). Для этого также выразим его через координаты точек O и B:

\(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{O} = (-7, 0) - (0, 0) = (-7, 0)\).

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{OB}\) имеет координаты (-7, 0).

Теперь находим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}\). Перемножим соответствующие координаты векторов и сложим полученные произведения:

\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (7 \cdot (-7)) + (0 \cdot 0) = -49 + 0 = -49\).

Ответ: Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\) равно -49.

3. Для нахождения скалярного произведения векторов \(\overrightarrow{CB}\) и \(\overrightarrow{DC}\), сначала найдем координаты точек C и B.

У нас уже известны координаты точек C и D: C(7, 0) и D(0, 0). Так как все стороны ромба равны между собой, то и диагональ ромба является осью симметрии ромба. Следовательно, точка B должна иметь отрицательную абсциссу, чтобы быть симметричной относительно оси Ox с точкой C.

Примем координаты точки B равными (-7, 0), то есть B(-7, 0).

Теперь находим вектор \(\overrightarrow{CB}\) и выражаем его через координаты точек C и B:

\(\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C} = (-7, 0) - (7, 0) = (-14, 0)\).

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{CB}\) имеет координаты (-14, 0).

Теперь находим вектор \(\overrightarrow{DC}\), который мы уже нашли ранее:

\(\overrightarrow{DC}\) имеет координаты (7, 0) (см. пункт 1).

Теперь находим скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{DC}\). Перемножим соответствующие координаты векторов и сложим полученные произведения:

\(\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{DC} = (-14 \cdot 7) + (0 \cdot 0) = -98 + 0 = -98\).

Ответ: Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{CB}\) и \(\overrightarrow{DC}\) равно -98.