У трикутнику ABC, у якого C - прямий кут, задано CA = 9 см та CB = 12 см. Створи відповідний графічний зображення

Yaroslav

2

Спершу давайте побудуємо відповідне графічне зображення трикутника ABC. Оскільки кут C є прямим кутом, ми можемо намалювати прямокутний трикутник зі сторонами, що відповідають даним:

A
|\
| \
9см| \12см
| \
|____\
C B

Тепер, для того, щоб обчислити значення AB, ми можемо скористатися теоремою Піфагора, яка стверджує, що в прямокутному трикутнику сума квадратів довжин катетів (сторін прямокутного кута) дорівнює квадрату довжини гіпотенузи (сторони, протилежної прямому куту). В нашому випадку, катети мають довжини 9 см і 12 см, тому ми маємо:

\[AB^2 = CA^2 + CB^2\]
\[AB^2 = 9^2 + 12^2\]
\[AB^2 = 81 + 144\]
\[AB^2 = 225\]

Тепер, для того, щоб знайти значення AB, нам потрібно взяти квадратний корінь з обох боків рівняння:

\[AB = \sqrt{225}\]
\[AB = 15\]

Таким чином, значення сторони AB дорівнює 15 см.

Далі, ми маємо обчислити тригонометричні відношення для кута B. Враховуючи, що у нас є значення сторін AB і CB, ми можемо використати теорему синусів. Згідно цієї теореми, у довільному трикутнику співвідношення між довжинами сторін та синусами протилежних кутів є рівним:

\[\frac{AB}{\sin B} = \frac{CB}{\sin C}\]

Але ми знаємо, що кут C є прямий кут і, тому, \(\sin C = 1\). Таким чином, співвідношення спрощується до:

\[\frac{AB}{\sin B} = CB\]

Підставляючи відомі значення:

\[\frac{15}{\sin B} = 12\]

Тепер ми можемо розв"язати це рівняння щодо синуса кута B:

\[\sin B = \frac{15}{12}\]
\[\sin B = \frac{5}{4}\]

Аналогічно, ми можемо обчислити значення тангенсу та косинуса кута B:

\[\tan B = \frac{\sin B}{\cos B}\]

Перегрупповуючи це рівняння, маємо:

\[\cos B = \frac{\sin B}{\tan B}\]

Підставляючи відомі значення для \(\sin B\), маємо:

\[\cos B = \frac{\frac{5}{4}}{\tan B}\]

Застосовуючи ці формули, ми отримуємо:

\[\sin B \approx 0.8\]
\[\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} \approx \frac{0.8}{\tan B} = 0.8 \times \tan B\]
\[\cos B = \frac{0.8}{\tan B}\]

Таким чином, значення сторони AB дорівнює 15 см, а тригонометричні відношення для кута B є \(\sin B \approx 0.8\), \(\tan B = 0.8 \times \tan B\), та \(\cos B = \frac{0.8}{\tan B}\) (уникайте скорочення дробу).