У трикутній піраміді SABC, у якій всі бічні ребра рівні, прямокутний трикутник ABC з катетами AC = 12см і BC = 2√14см

Murzik

51

Для розв"язання цієї задачі, нам спочатку потрібно знайти довжину катету AB прямокутного трикутника ABC, що є основою піраміди.

З формули Піфагора для прямокутного трикутника маємо:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Підставляючи відомі значення AC = 12см і BC = 2√14см, ми можемо знайти довжину катету AB:

\[ AB^2 = 12^2 + (2√14)^2 \]
\[ AB^2 = 144 + 4 \cdot 14 \]
\[ AB^2 = 144 + 56 \]
\[ AB^2 = 200 \]

Для визначення довжини бічного ребра піраміди, ми використовуємо відоме співвідношення між довжиною бічного ребра і висотою піраміди. Задано, що висота піраміди SO рівна 1/2AB.

\[ SO = \frac{1}{2} AB \]

Підставляючи відому довжину катету AB = √200, ми можемо знайти висоту SO:

\[ SO = \frac{1}{2} \sqrt{200} \]
\[ SO = \frac{\sqrt{200}}{2} \]

Тепер у нас є значення висоти SO. Оскільки усі бічні ребра піраміди рівні, то довжина бічного ребра рівна відстані від вершини піраміди S до центра основи ABC. Оскільки висота SO від вершини піраміди S ділить основу AB навпіл, то ми можемо застосувати теорему Піфагора для прямокутного трикутника ASO.

\[ AS^2 = AO^2 + SO^2 \]

У прямокутному трикутнику ASO ми маємо дві однакові сторони (бічне ребро піраміди AS і висоту SO). Тому цей трикутник є прямокутним і ми можемо використовувати формулу Піфагора, де AO - це радіус опуклого п"ятикутника, описаного навколо основи ABC піраміди (так як всі бічні ребра рівні, то це є радіус описаного кола).

\[ AS^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2 + SO^2 \]

Підставляючи відомі значення AB = √200 і SO = \(\frac{\sqrt{200}}{2}\), ми можемо знайти довжину бічного ребра AS:

\[ AS^2 = \left(\frac{\sqrt{200}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{200}}{2}\right)^2 \]
\[ AS^2 = \frac{200}{4} + \frac{200}{4} \]
\[ AS^2 = 50 + 50 \]
\[ AS^2 = 100 \]

Використовуючи квадратний корінь, ми отримуємо довжину бічного ребра AS:

\[ AS = \sqrt{100} \]
\[ AS = 10 \]

Отже, довжина бічного ребра цієї піраміди дорівнює 10 см.