11. Яка площа трикутника АОВ, якщо площа трикутника АВС становить 48 см2 і точка О є точкою перетину медіан трикутника

Vechnyy_Son

36

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах медиан треугольника. Медианы являются линиями, соединяющими вершины треугольника с серединами противолежащих сторон.

В данном случае, точка О - точка пересечения медиан треугольника АВС. Это значит, что медианы, исходящие из одной вершины (например, точки А), делятся точкой О пополам.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \times a \times h,\]

где a - длина основания, а h - высота, опущенная на основание.

Поскольку площадь треугольника АВС составляет 48 см², будем считать, что основанием является сторона АВ, а высота опущена на это основание.

Теперь построим медиану треугольника АВС, и проведем её из вершины А к точке О. Поскольку точка О делит медиану пополам, обозначим половину медианы как длину d, то есть АО = ОВ = d.

Поскольку рассматриваем треугольники АВО и АВС, у них есть общее основание АВ. Площади этих треугольников связаны таким соотношением:

\[S_{АВО} = \frac{1}{2} \times АВ \times d\]
\[S_{АВС} = \frac{1}{2} \times АВ \times h,\]

где h - высота треугольника АВС, опущенная на основание АВ.

Из условия задачи нам известно, что площадь треугольника АВС равна 48 см².

\[48 = \frac{1}{2} \times АВ \times h\]

Также, по свойству медиан, длина медианы d равна половине длины высоты h:

\[d = \frac{h}{2}\]

Подставим это в формулу площади треугольника АВО:

\[S_{АВО} = \frac{1}{2} \times АВ \times \frac{h}{2}\]

Теперь выразим h через d:

\[h = 2d\]

Подставим это в формулу площади треугольника АВС:

\[48 = \frac{1}{2} \times АВ \times 2d\]
\[48 = АВ \times d\]

Теперь, решим полученное уравнение относительно d:

\[d = \frac{48}{АВ}\]

Таким образом, мы выразили длину медианы треугольника АВО через длину стороны АВ.

Теперь рассмотрим площадь треугольника АВО:

\[S_{АВО} = \frac{1}{2} \times АВ \times d\]
\[S_{АВО} = \frac{1}{2} \times АВ \times \frac{48}{АВ}\]
\[S_{АВО} = 24\]

Получили, что площадь треугольника АОВ равна 24 см². Таким образом, правильный ответ на задачу - А) 24 см².