У всех точек Pt на единичной окружности, где значения t удовлетворяют данному неравенству, ордината больше или равна

Drakon

56

Для начала, давайте посмотрим, какие значения \(t\) удовлетворяют данному неравенству.

Неравенство говорит нам, что ордината (вертикальное расстояние от оси \(x\)) каждой точки \(P_t\) на единичной окружности больше или равна \(-\frac{1}{2}\).

Итак, нам нужно найти значения \(t\), для которых \(y \geq -\frac{1}{2}\), где \(y\) - ордината точки \(P_t\).

Давайте посмотрим, как выглядит единичная окружность:

\[
\begin{tikzpicture}
\draw[thin, gray, ->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[below] {$x$};
\draw[thin, gray, ->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[left] {$y$};
\draw (0,0) circle [radius=1cm];
\end{tikzpicture}
\]

На рисунке показана окружность радиуса \(1\) с центром в начале координат \((0,0)\).

Так как каждая точка на окружности имеет координаты \((x,y)\), мы можем использовать тригонометрию для нахождения \(y\). Вспомним, что \(x\) и \(y\) связаны следующим образом:

\[
x = \cos(t)
\]
\[
y = \sin(t)
\]

Теперь, чтобы найти значения \(t\), для которых \(y \geq -\frac{1}{2}\), нам нужно найти углы, при которых значение синуса \(y\) будет больше или равно \(-\frac{1}{2}\).

Воспользуемся известными значениями синуса в различных углах, чтобы найти интервалы значений \(t\), которые нам нужны.

Мы знаем, что синус \(\sin(t)\) положительный в первом и втором квадрантах, и отрицательный в третьем и четвертом квадрантах.

Таким образом, нам интересны только углы, для которых \(\sin(t) \geq -\frac{1}{2}\).

В первом и во втором квадрантах, \(y\) положительный. Максимальное значение синуса равно \(1\), которое достигается при \(t = \frac{\pi}{2}\).

В третьем и четвертом квадрантах, \(y\) отрицательный. Минимальное значение синуса равно \(-1\), которое достигается при \(t = \frac{3\pi}{2}\).

Таким образом, нам нужно найти значения \(t\), которые находятся в интервале между \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{3\pi}{2}\), чтобы \(y\) было больше или равно \(-\frac{1}{2}\).

Итак, ответ на задачу: значения \(t\), для которых ордината точки \(P_t\) на единичной окружности больше или равна \(-\frac{1}{2}\), находятся в интервале \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]\).