У який момент часу нормальне прискорення точки стане рівним тангенціальному прискоренню, якщо точка рухається по колу

Звездопад_Шаман

60

Давайте разберемся с этим вопросом пошагово.

Шаг 1: Найдем скорость точки в момент времени \(t\).
Для этого нужно произвести время \(t\) по формуле \(s=7t^3\), чтобы получить расстояние, пройденное точкой на окружности.

Из условия задачи, мы знаем что \(s\) равно расстоянию, пройденному точкой, которое равно \(7t^3\).

Шаг 2: Найдем производную этого выражения по времени \(t\) для получения скорости точки. Предположим, что \(\frac{{ds}}{{dt}} = v(t)\).

Тогда \(\frac{{ds}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(7t^3)\).
Используя правило дифференцирования для полиномов, получим:
\(\frac{{ds}}{{dt}} = 21t^2\).

Теперь мы знаем, что скорость точки в момент времени \(t\) равна \(v(t) = 21t^2\).

Шаг 3: Найдем радиус кривизны окружности в момент времени \(t\).
Радиус кривизны, обозначаемый как \(R(t)\), связан с модулем скорости точки и модулем радиального ускорения следующим образом: \(R(t) = \frac{{v(t)^2}}{{a_r(t)}}\), где \(a_r(t)\) - радиальное ускорение.

Шаг 4: Найдем радиальное ускорение точки в момент времени \(t\).
Радиальное ускорение \(a_r(t)\) можно выразить через нормальное ускорение \(a_n(t)\) следующим образом: \(a_r(t) = \frac{{v(t)^2}}{{R(t)}} = \frac{{v(t)^2}}{{R}}\).

Шаг 5: Найдем нормальное ускорение точки в момент времени \(t\).
Нормальное ускорение \(a_n(t)\) можно найти как производную скорости \(v(t)\) по времени \(t\): \(a_n(t) = \frac{{dv(t)}}{{dt}}\).

Теперь мы можем приступить к решению данной задачи:

1. Шаг: Найдем скорость точки в момент времени \(t\):
\(21t^2 = v(t)\).

2. Шаг: Найдем радиус кривизны окружности в момент времени \(t\):
\(R(t) = \frac{{v(t)^2}}{{a_r(t)}} = \frac{{v(t)^2}}{{\frac{{v(t)^2}}{{R}}}} = R\).

3. Шаг: Найдем радиальное ускорение точки в момент времени \(t\):
\(a_r(t) = \frac{{v(t)^2}}{{R}} = \frac{{(21t^2)^2}}{{R}} = \frac{{441t^4}}{{R}}\).

4. Шаг: Найдем нормальное ускорение точки в момент времени \(t\):
\(a_n(t) = \frac{{dv(t)}}{{dt}} = \frac{{d(21t^2)}}{{dt}} = 42t\).

Теперь, чтобы найти момент времени \(t\), когда нормальное ускорение равно радиальному ускорению, мы должны приравнять \(a_n(t)\) и \(a_r(t)\) и решить уравнение:

\(\frac{{441t^4}}{{R}} = 42t\).

Разделив обе части уравнения на \(t\), получаем:

\(\frac{{441t^3}}{{R}} = 42\).

Теперь, чтобы найти значение \(t\), упростим это уравнение:

\(441t^3 = 42R\).

Поделим обе части на 441:

\(t^3 = \frac{{42R}}{{441}}\).

Затем возьмем кубический корень от обеих частей уравнения:

\(t = \sqrt[3]{{\frac{{42R}}{{441}}}}\).

Теперь у нас есть значение момента времени \(t\), когда нормальное ускорение равно радиальному ускорению.

Таким образом, найденное \(t\) будет примерным временем, когда нормальное ускорение точки станет равным тангенциальному ускорению. Полученные значения \(t\) можно подставить в выражения для скорости, радиуса кривизны, нормального и радиального ускорения, чтобы найти соответствующие значения в этот момент времени.