У якій точці на кривій f(x)=3x^2-4x+6 дотична перпендикулярна прямій з рівнянням 8y+x-2=0?

Михайловна

33

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Найдем производную функции f(x). Производная показывает нам, как меняется функция по отношению к переменной x. Для нашей функции f(x) = 3x^2 - 4x + 6, найдем производную.

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x + 6)\]

Для нахождения производной, мы можем использовать правила дифференцирования. Применим эти правила к каждому члену функции:

\[f"(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(6)\]

Вычислим производные каждого слагаемого:

\[f"(x) = 6x - 4\]

Шаг 2: Найдем угловой коэффициент прямой, заданной уравнением 8y + x - 2 = 0. Уравнение прямой можно переписать в форме y = mx + b, где m - угловой коэффициент. Для этого уравнения угловой коэффициент равен -\frac{1}{8}.

Шаг 3: Найдем точку пересечения кривой f(x) и прямой с угловым коэффициентом -\frac{1}{8}. Для этого запишем уравнение кривой и уравнение прямой в координатной плоскости и решим их систему.

\[\begin{cases} f(x) = 3x^2 - 4x + 6 \\ 8y + x - 2 = 0 \end{cases}\]

Чтобы найти точку пересечения, можно приравнять значения y в обоих уравнениях и решить уравнение для x:

\[3x^2 - 4x + 6 = -\frac{1}{8}x + \frac{1}{4}\]

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

\[3x^2 - 4x + \frac{1}{8}x - \frac{1}{4} + 6 = 0\]

Сгруппируем слагаемые:

\[3x^2 - \frac{31}{8}x + \frac{23}{4} = 0\]

Шаг 4: Решим полученное квадратное уравнение для x. Мы можем использовать квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0 и применить формулу дискриминанта.

Для нашего уравнения:

a = 3, b = -\frac{31}{8}, c = \frac{23}{4}

Дискриминант D определяется по формуле D = b^2 - 4ac. Подставим значения:

\[D = \left(-\frac{31}{8}\right)^2 - 4 \cdot 3 \cdot \frac{23}{4}\]

\[D = \frac{961}{64} - \frac{276}{4}\]

\[D = \frac{961}{64} - \frac{552}{64}\]

\[D = \frac{409}{64}\]

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем использовать формулу для корней квадратного уравнения: x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. Подставим значения:

\[x = \frac{-\left(-\frac{31}{8}\right) \pm \sqrt{\frac{409}{64}}}{2 \cdot 3}\]

\[x = \frac{\frac{31}{8} \pm \frac{19}{8}}{6}\]

Решим уравнение для двух значений x:

\[x_1 = \frac{\frac{31}{8} + \frac{19}{8}}{6} = \frac{50}{48} = \frac{25}{24}\]

\[x_2 = \frac{\frac{31}{8} - \frac{19}{8}}{6} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}\]

Шаг 5: Теперь найдем соответствующие значения y, подставив значения x в любое из уравнений:

Для x = \frac{25}{24}, подставим x в уравнение f(x) = 3x^2 - 4x + 6:

\[y_1 = 3\left(\frac{25}{24}\right)^2 - 4\left(\frac{25}{24}\right) + 6\]

\[y_1 = \frac{625}{192} - \frac{100}{24} + 6\]

\[y_1 = \frac{625}{192} - \frac{800}{192} + \frac{1152}{192} = \frac{977}{192}\]

Для x = \frac{1}{4}, подставим x в уравнение f(x) = 3x^2 - 4x + 6:

\[y_2 = 3\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{4}\right) + 6\]

\[y_2 = \frac{3}{16} - \frac{4}{4} + 6\]

\[y_2 = \frac{3}{16} - 1 + 6 = \frac{71}{16}\]

Таким образом, дотичная, перпендикулярная прямой с уравнением 8y + x - 2 = 0, пересекает кривую f(x) = 3x^2 - 4x + 6 в точках (x_1, y_1) = \left(\frac{25}{24}, \frac{977}{192}\right) и (x_2, y_2) = \left(\frac{1}{4}, \frac{71}{16}\right).