Угол наклона образующей конуса к плоскости основания равен 60°. В треугольник, вписанный в основание конуса, входит

Malyshka

18

Для решения данной задачи, давайте разберёмся с основными понятиями и формулами, которые будем использовать.

Конус - это геометрическое тело, имеющее круглую плоскость в основании и все точки образующих прямых, проходящих через основание, сходятся в одной точке, называемой вершиной конуса.

Площадь поверхности конуса состоит из двух частей: площади основания и площади боковой поверхности.

Формула для вычисления площади поверхности конуса:
\[S = S_{основания} + S_{боковой поверхности}\]

Площадь поверхности основания конуса равна площади круга:
\[S_{основания} = \pi r^2\]

Площадь боковой поверхности конуса можно найти с помощью формулы:
\[S_{боковой поверхности} = \pi r l\]

где \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - образующая конуса.

Теперь перейдем к решению задачи. Угол наклона образующей конуса к плоскости основания равен 60°. Это значит, что между образующей и горизонтальной плоскостью имеется прямой угол, а угол между образующей и плоскостью основания равен 60°.

Из этого можно сделать вывод, что треугольник, вписанный в основание конуса, будет равнобедренным треугольником. Следовательно, углы при основании треугольника равны между собой.

Зная, что один из углов при основании треугольника равен 30°, мы можем сделать вывод, что другие два угла также равны 30°.

Теперь, чтобы найти полную площадь поверхности конуса, нам необходимо найти радиус основания и образующую конуса.

С помощью тригонометрического соотношения в равнобедренном треугольнике, где один из углов при основании равен 30°, мы можем вычислить длину стороны основания:

\[r = \frac{s}{2 \sin 30^\circ}\]

Здесь \(s\) - длина стороны треугольника, равная 4см.

\[r = \frac{4}{2 \sin 30^\circ} = \frac{4}{2 \cdot 0.5} = \frac{4}{1} = 4\]

Таким образом, радиус основания конуса равен 4 см.

Осталось найти образующую конуса. Образующая образует угол 60° с плоскостью основания.

\[\sin 60^\circ = \frac{l}{4}\]

\[l = 4 \cdot \sin 60^\circ = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\]

Теперь мы можем вычислить площадь поверхности конуса:

\[S = S_{основания} + S_{боковой поверхности}\]

\[S_{основания} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi\]

\[S_{боковой поверхности} = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\pi\sqrt{3}\]

\[S = 16\pi + 8\pi\sqrt{3}\]

Таким образом, полная площадь поверхности конуса равна \(16\pi + 8\pi\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.