Давайте разберемся с упрощением этого выражения по шагам.
1. Для начала, мы можем попробовать упростить дробь, избавившись от иррациональных чисел в знаменателе. Если мы умножим как числитель, так и знаменатель на сопряженное иррациональное выражение для каждого иррационального числа, то мы сможем избавиться от иррациональности в знаменателе.
Мы знаем, что сопряженное иррациональное выражение для \(\sqrt{14}-\sqrt{6}\) будет \(\sqrt{14}+\sqrt{6}\). И также, для \(\sqrt{35}-\sqrt{15}\) будет \(\sqrt{35}+\sqrt{15}\).
Мы умножаем числитель и знаменатель на эти выражения:
\[\frac{(\sqrt{35}-\sqrt{15})(\sqrt{14}+\sqrt{6})}{(\sqrt{14}-\sqrt{6})(\sqrt{14}+\sqrt{6})}\]
2. Теперь попробуем упростить числитель.
Применим правило разности квадратов, умножая выражение \((\sqrt{35}-\sqrt{15})(\sqrt{14}+\sqrt{6})\):
\[(\sqrt{35}-\sqrt{15})(\sqrt{14}+\sqrt{6}) = (\sqrt{35}\cdot\sqrt{14}) + (\sqrt{35}\cdot\sqrt{6}) - (\sqrt{15}\cdot\sqrt{14}) - (\sqrt{15}\cdot\sqrt{6})\]
Теперь упростим каждое из этих произведений. Извлечение корня из произведения двух чисел равно извлечению корня из каждого числа и их умножению:
\[(\sqrt{35}\cdot\sqrt{14}) + (\sqrt{35}\cdot\sqrt{6}) - (\sqrt{15}\cdot\sqrt{14}) - (\sqrt{15}\cdot\sqrt{6}) = \sqrt{490} + \sqrt{210} - \sqrt{210} - \sqrt{90}\]
3. Теперь попробуем упростить знаменатель.
Применяя снова правило разности квадратов, умножаем выражение \((\sqrt{14}-\sqrt{6})(\sqrt{14}+\sqrt{6})\):
\[(\sqrt{14}-\sqrt{6})(\sqrt{14}+\sqrt{6}) = (\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}) - (\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}) + (\sqrt{6}\cdot\sqrt{14}) - (\sqrt{6}\cdot\sqrt{6})\]
Теперь упростим каждое из этих произведений:
\[(\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}) - (\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}) + (\sqrt{6}\cdot\sqrt{14}) - (\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}) = 14 - \sqrt{84} + \sqrt{84} - 6\]
Vechnyy_Moroz 26
Давайте разберемся с упрощением этого выражения по шагам.1. Для начала, мы можем попробовать упростить дробь, избавившись от иррациональных чисел в знаменателе. Если мы умножим как числитель, так и знаменатель на сопряженное иррациональное выражение для каждого иррационального числа, то мы сможем избавиться от иррациональности в знаменателе.
Мы знаем, что сопряженное иррациональное выражение для \(\sqrt{14}-\sqrt{6}\) будет \(\sqrt{14}+\sqrt{6}\). И также, для \(\sqrt{35}-\sqrt{15}\) будет \(\sqrt{35}+\sqrt{15}\).
Мы умножаем числитель и знаменатель на эти выражения:
\[\frac{(\sqrt{35}-\sqrt{15})(\sqrt{14}+\sqrt{6})}{(\sqrt{14}-\sqrt{6})(\sqrt{14}+\sqrt{6})}\]
2. Теперь попробуем упростить числитель.
Применим правило разности квадратов, умножая выражение \((\sqrt{35}-\sqrt{15})(\sqrt{14}+\sqrt{6})\):
\[(\sqrt{35}-\sqrt{15})(\sqrt{14}+\sqrt{6}) = (\sqrt{35}\cdot\sqrt{14}) + (\sqrt{35}\cdot\sqrt{6}) - (\sqrt{15}\cdot\sqrt{14}) - (\sqrt{15}\cdot\sqrt{6})\]
Теперь упростим каждое из этих произведений. Извлечение корня из произведения двух чисел равно извлечению корня из каждого числа и их умножению:
\[(\sqrt{35}\cdot\sqrt{14}) + (\sqrt{35}\cdot\sqrt{6}) - (\sqrt{15}\cdot\sqrt{14}) - (\sqrt{15}\cdot\sqrt{6}) = \sqrt{490} + \sqrt{210} - \sqrt{210} - \sqrt{90}\]
3. Теперь попробуем упростить знаменатель.
Применяя снова правило разности квадратов, умножаем выражение \((\sqrt{14}-\sqrt{6})(\sqrt{14}+\sqrt{6})\):
\[(\sqrt{14}-\sqrt{6})(\sqrt{14}+\sqrt{6}) = (\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}) - (\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}) + (\sqrt{6}\cdot\sqrt{14}) - (\sqrt{6}\cdot\sqrt{6})\]
Теперь упростим каждое из этих произведений:
\[(\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}) - (\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}) + (\sqrt{6}\cdot\sqrt{14}) - (\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}) = 14 - \sqrt{84} + \sqrt{84} - 6\]
4. Упрощаем числитель и знаменатель:
\[\sqrt{490} + \sqrt{210} - \sqrt{210} - \sqrt{90} = \sqrt{490} - \sqrt{90}\]
\[14 - \sqrt{84} + \sqrt{84} - 6 = 8\]
5. Таким образом, итоговое упрощенное выражение будет:
\[\frac{\sqrt{490} - \sqrt{90}}{8}\]
Это является упрощенной формой начального выражения, и больше упростить его не получится.