Упростить выражение (√35-√15)/(√14-√6

Vechnyy_Moroz

26

Давайте разберемся с упрощением этого выражения по шагам.

1. Для начала, мы можем попробовать упростить дробь, избавившись от иррациональных чисел в знаменателе. Если мы умножим как числитель, так и знаменатель на сопряженное иррациональное выражение для каждого иррационального числа, то мы сможем избавиться от иррациональности в знаменателе.

Мы знаем, что сопряженное иррациональное выражение для $\sqrt{14}-\sqrt{6}$ будет $\sqrt{14}+\sqrt{6}$. И также, для $\sqrt{35}-\sqrt{15}$ будет $\sqrt{35}+\sqrt{15}$.

Мы умножаем числитель и знаменатель на эти выражения:
$$\frac{(\sqrt{35}-\sqrt{15})(\sqrt{14}+\sqrt{6})}{(\sqrt{14}-\sqrt{6})(\sqrt{14}+\sqrt{6})}$$

2. Теперь попробуем упростить числитель.

Применим правило разности квадратов, умножая выражение $(\sqrt{35}-\sqrt{15})(\sqrt{14}+\sqrt{6})$:
$$(\sqrt{35}-\sqrt{15})(\sqrt{14}+\sqrt{6})=(\sqrt{35}\cdot \sqrt{14})+(\sqrt{35}\cdot \sqrt{6})-(\sqrt{15}\cdot \sqrt{14})-(\sqrt{15}\cdot \sqrt{6})$$

Теперь упростим каждое из этих произведений. Извлечение корня из произведения двух чисел равно извлечению корня из каждого числа и их умножению:
$$(\sqrt{35}\cdot \sqrt{14})+(\sqrt{35}\cdot \sqrt{6})-(\sqrt{15}\cdot \sqrt{14})-(\sqrt{15}\cdot \sqrt{6})=\sqrt{490}+\sqrt{210}-\sqrt{210}-\sqrt{90}$$

3. Теперь попробуем упростить знаменатель.

Применяя снова правило разности квадратов, умножаем выражение $(\sqrt{14}-\sqrt{6})(\sqrt{14}+\sqrt{6})$:
$$(\sqrt{14}-\sqrt{6})(\sqrt{14}+\sqrt{6})=(\sqrt{14}\cdot \sqrt{14})-(\sqrt{14}\cdot \sqrt{6})+(\sqrt{6}\cdot \sqrt{14})-(\sqrt{6}\cdot \sqrt{6})$$

Теперь упростим каждое из этих произведений:
$$(\sqrt{14}\cdot \sqrt{14})-(\sqrt{14}\cdot \sqrt{6})+(\sqrt{6}\cdot \sqrt{14})-(\sqrt{6}\cdot \sqrt{6})=14-\sqrt{84}+\sqrt{84}-6$$

4. Упрощаем числитель и знаменатель:
$$\sqrt{490}+\sqrt{210}-\sqrt{210}-\sqrt{90}=\sqrt{490}-\sqrt{90}$$
$$14-\sqrt{84}+\sqrt{84}-6=8$$

5. Таким образом, итоговое упрощенное выражение будет:
$$\frac{\sqrt{490}-\sqrt{90}}{8}$$

Это является упрощенной формой начального выражения, и больше упростить его не получится.