Уравнение окружности: x2+y2=36. Уравнение прямой: x=a. Найдите значения a, при которых... (В ответе каждого пункта

Ледяной_Огонь

13

Чтобы найти значения \(a\), при которых выполняются данные условия, мы должны рассмотреть различные случаи взаимного расположения прямой \(x=a\) и окружности \(x^2+y^2=36\).

1. Прямая пересекает окружность в одной точке:
Это означает, что уравнение окружности и уравнение прямой имеют единственное общее решение. Подставим уравнение прямой \(x=a\) в уравнение окружности и решим полученное уравнение относительно переменной \(a\):
\[a^2 + y^2 = 36\]

Поскольку прямая пересекает окружность в одной точке, это означает, что уравнение \(a^2 + y^2 = 36\) должно иметь одно решение \(y\). Вспомним, что уравнение окружности \(x^2+y^2=36\) представляет собой круг радиусом 6 и центром в начале координат. Таким образом, прямая \(x=a\) пересекает окружность в одной точке, когда она проходит через самую верхнюю или самую нижнюю точку окружности.

Для нахождения \(a\) сначала найдем значения \(y\), соответствующие верхней и нижней точке окружности. Как мы знаем, точки на окружности удовлетворяют уравнению \(x^2 + y^2 = 36\). Подставим \(x=a\) и решим уравнение:

\[\begin{align*}
a^2 + y^2 &= 36 \\
y^2 &= 36 - a^2 \\
y &= \sqrt{36 - a^2}
\end{align*}\]

Таким образом, значения лежат в диапазоне \(-\sqrt{36 - a^2} \leq y \leq \sqrt{36 - a^2}\).

2. Прямая пересекает окружность в двух точках:
Это означает, что уравнение окружности и уравнение прямой имеют два общих решения. Подставим уравнение прямой \(x=a\) в уравнение окружности и решим полученное уравнение относительно переменной \(a\):
\[a^2 + y^2 = 36\]

Поскольку прямая пересекает окружность в двух точках, это означает, что уравнение \(a^2 + y^2 = 36\) должно иметь два различных решения \(y\). Опять же, вспомним, что уравнение окружности \(x^2+y^2=36\) представляет собой круг радиусом 6 и центром в начале координат. Таким образом, прямая \(x=a\) пересекает окружность в двух точках, когда она проходит через левую и правую стороны окружности.

Для нахождения \(a\) найдем значения \(y\), соответствующие точкам пересечения прямой и окружности. Подставим \(x=a\) и решим уравнение:

\[\begin{align*}
a^2 + y^2 &= 36 \\
y^2 &= 36 - a^2 \\
y &= \pm \sqrt{36 - a^2}
\end{align*}\]

Таким образом, значения лежат в диапазоне \(-\sqrt{36 - a^2} \leq y \leq \sqrt{36 - a^2}\).

3. Прямая не пересекает окружность:
Это означает, что уравнение прямой \(x=a\) не имеет общих решений с уравнением окружности \(x^2+y^2=36\). Для того чтобы это произошло, прямая должна находиться полностью вне окружности.

В этом случае значения \(a\) лежат за пределами диапазона \(-6 \leq a \leq 6\).

Для резюме:

1. Прямая пересекает окружность в одной точке, когда \(a\) равно \(-6\) или \(6\).
2. Прямая пересекает окружность в двух точках, когда \(a\) лежит в диапазоне \(-6 < a < 6\).
3. Прямая не пересекает окружность, когда \(a\) находится за пределами диапазона \(-6 \leq a \leq 6\).