Подтвердите, что квадрат высоты lp в прямоугольном треугольнике klm с прямым углом l равен произведению отрезков
Подтвердите, что квадрат высоты lp в прямоугольном треугольнике klm с прямым углом l равен произведению отрезков kp и mp.
Путник_Судьбы 6
Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.1. Дано: У нас есть прямоугольный треугольник KLM с прямым углом в вершине L.
2. Мы знаем, что высота LP - это отрезок, проведенный из вершины L перпендикулярно основанию KM.
3. Нам нужно доказать, что квадрат высоты LP равен произведению отрезков KP.
4. Чтобы доказать это, давайте воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников.
5. Свойство 1: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Обозначим эту формулу как теорему Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где c - гипотенуза, a и b - катеты.
6. В нашем случае, прямоугольный треугольник KLM имеет гипотенузу KM и катеты KL и LM.
7. Давайте обратимся к треугольнику KLP. В нем гипотенузой будет отрезок KP, а катетами - LP и KL.
8. Согласно теореме Пифагора для треугольника KLP, получаем:
\[KP^2 = LP^2 + KL^2 \]
9. Теперь давайте посмотрим на треугольник KLM. В нем гипотенузой является отрезок KM, а катетами - KL и LM.
10. Согласно теореме Пифагора для треугольника KLM, получаем:
\[KM^2 = KL^2 + LM^2 \]
11. Но заметим, что KM равно сумме KP и PM: \(KM = KP + PM\).
12. Подставим это в предыдущее уравнение:
\[(KP + PM)^2 = KL^2 + LM^2 \]
13. Раскроем квадрат:
\[KP^2 + 2KP \cdot PM + PM^2 = KL^2 + LM^2 \]
14. Теперь давайте обратим внимание на треугольник KPM. В нем гипотенузой является отрезок KP, а катетами - PM и LM.
15. Согласно теореме Пифагора для треугольника KPM, получаем:
\[KP^2 = PM^2 + LM^2 \]
16. Подставим это в предыдущее уравнение:
\[PM^2 + LM^2 + 2KP \cdot PM = KL^2 + LM^2 \]
17. Избавимся от LM^2 на обеих сторонах:
\[PM^2 + 2KP \cdot PM = KL^2 \]
18. Перенесем \(PM^2\) на другую сторону уравнения:
\[2KP \cdot PM = KL^2 - PM^2 \]
19. Факторизуем правую часть:
\[2KP \cdot PM = (KL + PM)(KL - PM) \]
20. Так как KL - PM = KL - LP, получаем:
\[2KP \cdot PM = (KL + LP)(KL - LP) \]
21. Теперь можем сделать вывод, что \(KP \cdot PM = (KL + LP)(KL - LP)\) или в другой форме записи: \(KP^2 = LP^2 + KL^2\).
22. Мы доказали, что квадрат высоты LP в прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L равен произведению отрезков KP.