Уравнение окружности x2+y2=9. Уравнение прямой y=b. Найти значения b, при которых... (В ответе каждого пункта в первое

Mariya

53

Для решения данной задачи необходимо подставить уравнение прямой \(y=b\) в уравнение окружности \(x^2+y^2=9\) и найти значения параметра \(b\) при которых выполняются условия задачи.

1. Чтобы прямая пересекала окружность только в одной точке, необходимо, чтобы уравнение прямой имело единственное решение. Для этого подставим \(y=b\) в уравнение окружности:

\[x^2 + b^2 = 9\]

Это уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно переменной \(x\). Решим его:

\[x^2 = 9 - b^2\]

\[x = \sqrt{9 - b^2}\]

Условие единственного пересечения означает, что это уравнение имеет единственное решение. То есть, уравнение \(9 - b^2\) не должно равняться нулю, иначе у нас будет два решения.

2. Чтобы прямая пересекала окружность ровно в двух точках, уравнение прямой должно иметь два решения при подстановке в уравнение окружности. Подставим \(y=b\) в \(x^2+y^2=9\):

\[x^2 + b^2 = 9\]

Решим это уравнение:

\[x^2 = 9 - b^2\]

\[x = \pm \sqrt{9 - b^2}\]

Условие двойного пересечения означает, что уравнение \(9 - b^2\) должно быть положительным, чтобы у нас было два решения.

3. Чтобы прямая не пересекала окружность, уравнение прямой не должно иметь решений при подстановке в уравнение окружности. Подставим \(y=b\) в \(x^2+y^2=9\):

\[x^2 + b^2 = 9\]

Решим это уравнение:

\[x^2 = 9 - b^2\]

Если уравнение \(9 - b^2\) отрицательное, то у нас нет решений.

Таким образом, чтобы ответить на задачу, нужно найти значения параметра \(b\), при которых выполняются указанные условия:

1. Для единственного пересечения окружности в одной точке: \(b \neq 0\) и \(9 - b^2 > 0\) или \(b \neq 0\) и \(b^2 < 9\).
2. Для двойного пересечения окружности в двух точках: \(9 - b^2 > 0\) или \(b^2 < 9\).
3. Для отсутствия пересечения окружности: \(9 - b^2 \leq 0\) или \(b^2 \geq 9\).

Пожалуйста, напишите, если у вас возникли вопросы по этому решению или если вам нужна помощь с другой математической задачей.