Using the principle of superposition, determine the point in the field of two point charges +Q and +2Q, located

Сон

61

Для решения этой задачи нам понадобится принцип суперпозиции, который позволяет нам определить суммарное поле, создаваемое несколькими зарядами.

Итак, у нас есть два точечных заряда: +Q и +2Q, расположенные на расстоянии l друг от друга. Мы хотим найти точку в поле этих зарядов, где интенсивность поля равна нулю. Допустим, что эта точка называется P.

Для начала рассмотрим поле, создаваемое зарядом +Q. Расстояние от заряда +Q до точки P обозначим как r1. Согласно закону Кулона, интенсивность поля от заряда +Q в точке P равна:

\[ E_1 = \frac{{k \cdot Q}}{{r_1^2}} \]

Где k - постоянная Кулона, Q - значение заряда +Q, а \( r_1 \) - расстояние от заряда +Q до точки P.

Теперь рассмотрим поле, создаваемое зарядом +2Q. Расстояние от заряда +2Q до точки P также обозначим как r1. Интенсивность поля от заряда +2Q в точке P равна:

\[ E_2 = \frac{{k \cdot 2Q}}{{r_2^2}} \]

Где k - постоянная Кулона, 2Q - значение заряда +2Q, а \( r_2 \) - расстояние от заряда +2Q до точки P.

Согласно принципу суперпозиции, суммарная интенсивность поля в точке P будет равна сумме интенсивностей полей от зарядов +Q и +2Q. То есть:

\[ E_{\text{сум}} = E_1 + E_2 \]

Теперь нам нужно найти такую точку P, где суммарная интенсивность поля равна нулю. Это означает, что:

\[ E_1 + E_2 = 0 \]

\[ \frac{{k \cdot Q}}{{r_1^2}} + \frac{{k \cdot 2Q}}{{r_2^2}} = 0 \]

Поскольку мы ищем отношение интенсивностей полей в точках A и B, давайте немного преобразуем уравнение. Расстояние от заряда +Q до точки A обозначим как r_A, а расстояние от заряда +2Q до точки B - как r_B.

Тогда уравнение можно записать как:

\[ \frac{{k \cdot Q}}{{r_A^2}} + \frac{{k \cdot 2Q}}{{r_B^2}} = 0 \]

Можно заметить, что величины \( r_A \) и \( r_B \) связаны с расстоянием между зарядами l следующим образом: \( r_A = \frac{{l}}{{2}} \) и \( r_B = \frac{{l}}{{\sqrt{5}}} \).

Теперь подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{{k \cdot Q}}{{\left(\frac{{l}}{{2}}\right)^2}} + \frac{{k \cdot 2Q}}{{\left(\frac{{l}}{{\sqrt{5}}}\right)^2}} = 0 \]

Упростив это уравнение, получаем:

\[ \frac{{4k \cdot Q}}{{l^2}} + \frac{{20k \cdot Q}}{{l^2}} = 0 \]

\[ \frac{{24k \cdot Q}}{{l^2}} = 0 \]

\[ 24k \cdot Q = 0 \]

Учитывая, что постоянная Кулона k и заряд Q не могут равняться нулю, мы приходим к выводу, что не существует такой точки P, в которой интенсивность поля равна нулю.

Теперь рассмотрим отношение интенсивностей полей в точках A и B. Подставим значения \( r_A \) и \( r_B \) в выражение:

\[ \frac{{E_A}}{{E_B}} = \frac{{\frac{{k \cdot Q}}{{\left(\frac{{l}}{{2}}\right)^2}}}}{{\frac{{k \cdot 2Q}}{{\left(\frac{{l}}{{\sqrt{5}}}\right)^2}}}} \]

Упростив это выражение, получаем:

\[ \frac{{E_A}}{{E_B}} = \frac{{\left(\frac{{\sqrt{5}}}}{{2}}\right)^2}}{{2^2}} = \frac{{5}}{{4}} \]

Таким образом, отношение интенсивностей полей в точках A и B равно \( \frac{{5}}{{4}} \).