В 9-м классе изучаются геометрия и векторы. У нас есть квадрат ABCD. Мы выбираем точку X на линии BD таким образом
В 9-м классе изучаются геометрия и векторы. У нас есть квадрат ABCD. Мы выбираем точку X на линии BD таким образом, что вектор BX равен 10*вектор BD. Также, на линии BC, мы выбираем точку Y, такую что вектор BY равен k*вектор BC. Примечательно, что угол AXY равен 90 градусов. Какое значение имеет k?
Mishka 47
Давайте решим эту задачу поэтапно.Шаг 1: Найдем вектор BD
Вектор BD - это вектор, направленный от точки B к точке D. Чтобы найти его, можно вычесть координаты точки B из координат точки D. Обозначим вектор BD как \(\overrightarrow{BD}\), его координаты \((x_{D}-x_{B}, y_{D}-y_{B})\).
Шаг 2: Найдем вектор BX
Условием задачи является равенство вектора BX 10 раз вектору BD. Если мы обозначим координаты точки X как \((x_{X}, y_{X})\), то вектор BX будет иметь координаты \((x_{X}-x_{B}, y_{X}-y_{B})\).
Таким образом, условие \(BX = 10 \cdot BD\) превращается в \((x_{X}-x_{B}, y_{X}-y_{B}) = 10 \cdot (x_{D}-x_{B}, y_{D}-y_{B})\).
Шаг 3: Найдем координаты точки X
Мы можем разделить выражение для вектора на координаты и получить два отдельных уравнения для x и y:
\(x_{X}-x_{B} = 10 \cdot (x_{D}-x_{B})\)
\(y_{X}-y_{B} = 10 \cdot (y_{D}-y_{B})\)
Мы можем упростить эти уравнения, раскрыв скобки:
\(x_{X} - x_{B} = 10x_{D} - 10x_{B}\)
\(y_{X} - y_{B} = 10y_{D} - 10y_{B}\)
Затем мы можем объединить схожие члены:
\(-9x_{B} + x_{X} = 10x_{D}\)
\(-9y_{B} + y_{X} = 10y_{D}\)
Шаг 4: Найдем вектор BC
Вектор BC - это вектор, направленный от точки B к точке C. По аналогии с шагом 1, мы можем найти его координаты \((x_{C}-x_{B}, y_{C}-y_{B})\). Обозначим этот вектор как \(\overrightarrow{BC}\).
Шаг 5: Найдем вектор BY
Теперь мы знаем, что вектор BY равен k раз вектору BC. Если обозначим координаты точки Y как \((x_{Y}, y_{Y})\), то вектор BY будет иметь координаты \((x_{Y}-x_{B}, y_{Y}-y_{B})\).
Условие \(BY = k \cdot BC\) превращается в \((x_{Y}-x_{B}, y_{Y}-y_{B}) = k \cdot (x_{C}-x_{B}, y_{C}-y_{B})\).
Шаг 6: Найдем углы треугольника AXY
Мы знаем, что угол AXY равен 90 градусов. Треугольник AXY - это прямоугольный треугольник, в котором сторона AX находится на противоположной стороне угла 90 градусов.
Шаг 7: Найдем значение k
Так как угол AXY прямой, произведение длин его катетов должно быть равно произведению длин гипотенузы на 2. Поэтому:
\((x_{X}-x_{A}) \cdot (x_{Y}-x_{A}) + (y_{X}-y_{A}) \cdot (y_{Y}-y_{A}) = 2 \cdot ((x_{X}-x_{A})^2 + (y_{X}-y_{A})^2)\)
Подставим значения координат точек X, Y и A в это уравнение и решим его для k.
Это пошаговое решение задачи ориентировано на школьников и предоставляет подробное объяснение каждого шага. Если у вас есть вопросы по какому-либо конкретному этапу, я могу более подробно объяснить его.