В четырёхугольной пирамиде ABCDE с вершиной E и точками M и N (середины сторон основания AB и AD, соответственно

Коко

50

Чтобы ответить на эту задачу, давайте рассмотрим каждую её часть отдельно.

а) Для того чтобы подтвердить, что точка P делит высоту EH в отношении 3:1, считая от вершины, мы можем использовать теорему подобия плоскости и прямого треугольника. Давайте рассмотрим треугольники EPM и EPN.

Внимательно посмотрите на часть "считая от вершины" - это означает, что мы рассматриваем отношение длин отрезков по отношению к высоте EH.

Обратите внимание, что точка K является серединой бокового ребра EC, а точки M и N являются серединами сторон AB и AD соответственно. Это означает, что отрезки KP, MP и NP, соединяющие точку P с точками K, M и N, также делятся на две равные части. То есть KP = PM = NP.

Теперь рассмотрим треугольник EPM. Учитывая, что KP = PM, а также то, что отрезок EH является высотой пирамиды, мы можем применить теорему подобия:

\[\frac{{KP}}{{EP}} = \frac{{MP}}{{EM}}\]

Учитывая, что отрезок KP совпадает с отрезком PM, мы можем написать:

\[\frac{{KP}}{{EP}} = \frac{{PM}}{{EM}} = \frac{1}{2}\]

Из этого соотношения мы видим, что отрезок EP в 2 раза больше, чем KP (или PM), а отрезок EM в 2 раза меньше, чем KP (или PM). То есть, отношение длин PE и EM равно 2:1.

Теперь рассмотрим треугольник EPN. С использованием той же самой теоремы подобия, мы получим:

\[\frac{{NP}}{{EP}} = \frac{{PN}}{{EN}}\]

Учитывая, что NP совпадает с KP (или PM), мы можем написать:

\[\frac{{KP}}{{EP}} = \frac{{PN}}{{EN}} = \frac{1}{2}\]

Из этого соотношения мы видим, что отрезок EN в 2 раза больше, чем NP (или KP или PM). То есть, отношение длин EN и NP равно 2:1.

Таким образом, мы можем заключить, что точка P делит высоту EH в отношении 3:1, считая от вершины. Данный результат получен благодаря использованию теоремы подобия.

б) Чтобы найти отношение объёмов двух частей, на которые плоскость MNK делит пирамиду ABCDE, нам понадобится узнать отношение высот, которые полученные плоскостью MNK части пирамиды занимают относительно высоты пирамиды EH. Для этого мы будем использовать отношение объёмов.

Обозначим объёмы этих двух частей через V1 и V2, соответственно.

Так как отношение высот составляет 3:1, то отношение объёмов будет таким же. То есть:

\[\frac{{V1}}{{V2}} = \left(\frac{3}{1}\right)^3 = 27:1\]

Таким образом, отношение объёмов двух частей пирамиды ABCDE, на которые плоскость MNK делит её, равно 27:1.

Надеюсь, данное подробное решение помогло вам понять задачу. Если у вас остались какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я готов помочь!