В геометрии есть утверждение, известное как теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов

Сквозь_Тьму_7646

52

Конечно, давайте разберем теорему Пифагора.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(c\) и катетами \(a\) и \(b\) справедливо равенство:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Для доказательства этой теоремы давайте рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\), где \(c\) - гипотенуза. Мы можем разделить данный треугольник на два квадрата, построенных на катетах и один квадрат, построенный на гипотенузе.

\[
\begin{array}{c c}
\text{Квадрат на катете } a & \text{Квадрат на катете } b \\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
a & a \\
\hline
a & a \\
\hline
\end{array}
&
\begin{array}{|c|c|}
\hline
b & b \\
\hline
b & b \\
\hline
\end{array}
\\
\end{array}
\]

\[\text{Квадрат на гипотенузе } c : \begin{array}{|c|}
\hline
c \\
\hline
c \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы можем объединить квадраты на катетах в один большой квадрат, площадь которого равна сумме площадей исходных квадратов:

\[
\begin{array}{c}
\text{Квадрат на катете } a \text{ и квадрат на катете } b \\
\\
\begin{array}{|c|c|}
\hline
a & a \\
\hline
a & a \\
\hline
\end{array}
+
\begin{array}{|c|c|}
\hline
b & b \\
\hline
b & b \\
\hline
\end{array}
=
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
a & a & \\
\hline
a & a & b \\
\hline
& b & b \\
\hline
\end{array}
\end{array}
\]

Получившийся квадрат имеет сторону \(a + b\). Теперь давайте посмотрим на квадрат на гипотенузе \(c\). Его сторона также равна \(c\).

Таким образом, мы видим, что сумма площадей квадратов на катетах равна площади квадрата на гипотенузе:

\[(a + b)^2 = c^2\]

\[a^2 + 2ab + b^2 = c^2\]

\[a^2 + b^2 + 2ab = c^2\]

Так как \(a^2 + b^2 = c^2\), то доказано, что теорема Пифагора верна.