Яким буде значення гіпотенузи АВ прямокутного трикутника АВС, якщо АС дорівнює 5 см, а кут В становить 47 градусів?

Апельсиновый_Шериф_1883

55

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с косинусом одного из его углов.

В данной задаче у нас имеется прямоугольный треугольник АВС, где АС равно 5 см, а угол В равен 47 градусов. Мы хотим найти длину гипотенузы АВ, обозначим её как х.

Теорема косинусов гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Где c - длина стороны противолежащей углу C, a и b - длины других двух сторон, а C - угол между сторонами a и b.

В нашем случае a = АС = 5 см, b = АВ и C = угол В = 47 градусов. Подставим эти значения в формулу:

\[ АВ^2 = 5^2 + b^2 - 2 \cdot 5 \cdot b \cdot \cos(47) \]

\[ АВ^2 = 25 + b^2 - 10b \cdot \cos(47) \]

Теперь у нас есть уравнение, в котором неизвестной является длина АВ. Чтобы найти это значение, нам нужно решить уравнение.

Обозначим \(x = АВ^2\). Тогда:

\[ x = 25 + b^2 - 10b \cdot \cos(47) \]

Приведем это уравнение к виду квадратного уравнения:

\[ b^2 - 10b \cdot \cos(47) + 25 - x = 0 \]

Теперь мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения значения b. Формула для решения квадратного уравнения имеет вид:

\[ b = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Однако в нашем случае a = 1, b = -10 * cos(47), а c = 25 - x. Подставим эти значения в формулу:

\[ b = \frac{-(-10 \cdot \cos(47)) \pm \sqrt{(-10 \cdot \cos(47))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (25 - x)}}{2 \cdot 1} \]

\[ b = \frac{10 \cdot \cos(47) \pm \sqrt{100 \cdot (\cos(47))^2 - 4 \cdot (25 - x)}}{2} \]

Таким образом, мы получаем два возможных значения для b. Теперь, чтобы найти длину АВ, нужно выбрать положительное значение b и взять квадратный корень из него:

\[ АВ = \sqrt{10 \cdot \cos(47) + \sqrt{100 \cdot (\cos(47))^2 - 4 \cdot (25 - x)}} \]

В данном случае необходимо подставить значение x = АВ^2, полученное из уравнения АВ^2 = 5^2 + b^2 - 10b \cdot \cos(47), а затем вычислить значение выражения.

Таким образом, гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС будет равна найденному значению АВ с точностью до сотых.