В кубе abcda1b1c1d1 на ребрах b1a1 и a1d1 есть точки n и m соответственно такие, что соотношения b1n: na1=1: 4

Янтарка

62

Для начала давайте определимся с координатами точек n и m. Из условия задачи мы знаем, что точка n находится на ребре b1a1, а точка m находится на ребре a1d1. Также, соотношение b1n:na1 равно 1:4, а соотношение a1m:md1 равно 1:3.

Для удобства, давайте обозначим длину ребра куба как \(x\).

Так как n находится на ребре b1a1, координаты точки n можно представить как (0, 4x, 0), так как точка b1 имеет координаты (0, 0, 0), a1 имеет координаты (0, x, 0), а длина отрезка b1a1 равна \(4x\) (так как отношение b1n:na1 равно 1:4).

Аналогично, координаты точки m можно представить как (0, x, 3x), так как точка a1 имеет координаты (0, x, 0), d1 имеет координаты (x, x, x), а длина отрезка a1d1 равна \(3x\) (так как отношение a1m:md1 равно 1:3).

Теперь мы можем определить направляющие векторы прямых bn и am. Для этого мы вычтем координаты начальных точек ребер из координат конечных точек:

Направляющий вектор прямой bn:
\[
\vec{v}_{bn} = \vec{b1n} = (0, 4x, 0) - (0, 0, 0) = (0, 4x, 0)
\]

Направляющий вектор прямой am:
\[
\vec{v}_{am} = \vec{a1m} = (0, x, 3x) - (0, x, 0) = (0, 0, 3x)
\]

Теперь мы можем найти косинус угла \(\alpha\) между этими прямыми с помощью формулы для косинуса угла между двумя векторами:

\[
\cos(\alpha) = \frac{\vec{v}_{bn} \cdot \vec{v}_{am}}{\lVert \vec{v}_{bn} \rVert \cdot \lVert \vec{v}_{am} \rVert}
\]

где \(\vec{v}_{bn} \cdot \vec{v}_{am}\) - это скалярное произведение векторов, а \(\lVert \vec{v}_{bn} \rVert\) и \(\lVert \vec{v}_{am} \rVert\) - это длины векторов.

Сначала найдем скалярное произведение векторов:
\[
\vec{v}_{bn} \cdot \vec{v}_{am} = (0, 4x, 0) \cdot (0, 0, 3x) = 0 \cdot 0 + 4x \cdot 0 + 0 \cdot 3x = 0
\]

Затем найдем длины векторов:
\[
\lVert \vec{v}_{bn} \rVert = \sqrt{0^2 + (4x)^2 + 0^2} = \sqrt{16x^2} = 4x
\]

\[
\lVert \vec{v}_{am} \rVert = \sqrt{0^2 + 0^2 + (3x)^2} = \sqrt{9x^2} = 3x
\]

Теперь можем подставить все в формулу для косинуса угла \(\alpha\):
\[
\cos(\alpha) = \frac{\vec{v}_{bn} \cdot \vec{v}_{am}}{\lVert \vec{v}_{bn} \rVert \cdot \lVert \vec{v}_{am} \rVert} = \frac{0}{4x \cdot 3x} = 0
\]

Таким образом, косинус угла \(\alpha\) между прямыми bn и am равен 0. Но это неудивительно, потому что прямые bn и am перпендикулярны друг другу, как это видно из геометрической конструкции задачи.