В параллелограмме ABCD, одна из сторон которого в два раза больше другой, находятся две окружности, которые касаются

Magicheskiy_Troll

8

а) Для доказательства данного утверждения, мы воспользуемся свойствами параллелограмма и окружностей.

По условию, сторона параллелограмма AB больше стороны BC в два раза. Пусть AB = 2x, а BC = x.

Пусть O1 и O2 - центры окружностей, которые касаются друг друга и трёх сторон параллелограмма каждая. Радиусы этих окружностей обозначим r1 и r2 соответственно.

Так как окружности касаются трех сторон параллелограмма каждая, то расстояния от центров окружностей O1 и O2 до стороны BC (из условия это сторона меньшей длины) равны соответственно r1 и r2.

Также, из условия следует, что сторона AB параллельна прямой, проходящей через вершину A и центру окружности O1.

Используя теорему о параллельных прямых, можно заметить, что эта прямая делит сторону BC пополам.

Доказательство проведем следующим образом.

Из рисунка очевидно, что ST = r2.

Также, AS = AO1 + O1S = r1 + ST = r1 + r2. (1)

Опять же, из рисунка делаетя очевидным, что AM = AO1 + O1M = r1 + r2. (2)

Так как AM = AS, из (1) и (2) следует, что r1 + r2 = r1 + r2.

То есть, мы доказали, что прямая, проходящая через вершину A параллельно стороне параллелограмма и центру ближайшей окружности, действительно делит пополам сторону BC.

б) Чтобы найти площадь параллелограмма, нам необходимо знать его основание и высоту.

Из задачи известно, что AC = 4√5.

Основание параллелограмма - это сторона BC, которую мы обозначили как x в пункте а).

Мы также вывели, что AB = 2x.

Теперь нам нужно найти высоту параллелограмма.

В параллелограмме высота равна расстоянию между параллельными сторонами. В нашем случае это расстояние между сторонами AB и BC.

Мы знаем, что сторона AB в два раза больше стороны BC, поэтому расстояние между этими сторонами равно половине стороны BC.

Таким образом, высота параллелограмма равна \(h = \frac{x}{2}\).

Теперь мы можем найти площадь параллелограмма, используя формулу: площадь = основание * высота.

Подставим значения:

площадь = \(BC * \frac{x}{2} = (x * \frac{x}{2}) = \frac{x^2}{2}\).

Нам дано, что AC = 4√5.
Так как AC это диагональ параллелограмма, мы можем воспользоваться выражением \(AC^2 = AB^2 + BC^2\) для нахождения значения BC.

Подставим известные значения: \((4\sqrt{5})^2 = (2x)^2 + x^2\).

Раскроем скобки: \(80 = 4x^2 + x^2\).

Соберем все слагаемые: \(80 = 5x^2\).

Разделим обе части уравнения на 5: \(16 = x^2\).

Извлекаем квадратный корень: \(x = \sqrt{16} = 4\).

Теперь, когда мы знаем значение x, мы можем вычислить площадь параллелограмма:

площадь = \(\frac{x^2}{2} = \frac{4^2}{2} = 8\).

Итак, площадь параллелограмма равна 8.