В параллелограмме ABCD, точки M, N, K и L лежат на сторонах AB, BC, CD и AD соответственно. Условия гласят: AM:MB

Murzik

56

Чтобы доказать, что отрезки MK и NI делятся точкой пересечения в заданных пропорциях, воспользуемся векторами.

Обозначим векторы через строчные буквы, например, \(\overrightarrow{AB}\) обозначает вектор от точки A до точки B.

Также воспользуемся свойствами параллелограмма: противоположные стороны параллелограмма равны по длине и параллельны.

Из условия AM:MB = 1:3, мы можем записать, что \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{MB} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\).

Аналогично, из условия CK:KD = 1:3, мы можем записать, что \(\overrightarrow{CK} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{KD} = \frac{3}{4}\overrightarrow{CD}\).

Теперь посмотрим на отрезок \(\overrightarrow{MN}\).

Мы знаем, что \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BN}\), так как точка N лежит на стороне BC параллелограмма.

Подставим значения \(\overrightarrow{MB}\) и \(\overrightarrow{BN}\), получим \(\overrightarrow{MN} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{BC}\).

Аналогично, для отрезка \(\overrightarrow{KI}\) мы имеем \(\overrightarrow{KI} = \overrightarrow{KD} + \overrightarrow{DI}\), так как точка I лежит на стороне CD параллелограмма.

Подставим значения \(\overrightarrow{KD}\) и \(\overrightarrow{DI}\), получим \(\overrightarrow{KI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{CD} + \frac{1}{5}\overrightarrow{DC}\).

Теперь давайте посмотрим на отрезок \(\overrightarrow{NI}\).

Он является разностью \(\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MK}\), так как точка I находится между точками N и K.

Подставим значения \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{KI}\), получим \(\overrightarrow{NI} = \left(\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{BC}\right) - \left(\frac{3}{4}\overrightarrow{CD} + \frac{1}{5}\overrightarrow{DC}\right)\).

Теперь раскроем скобки и преобразуем уравнение:

\(\overrightarrow{NI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow{BC} - \frac{3}{4}\overrightarrow{CD} - \frac{1}{5}\overrightarrow{DC}\).

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DC}\).

Подставим эти значения, получим \(\overrightarrow{NI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{5}(-\overrightarrow{BC}) - \frac{3}{4}(-\overrightarrow{AB}) - \frac{1}{5}\overrightarrow{BC}\).

Упростим выражение:

\(\overrightarrow{NI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{5}\overrightarrow{BC} + \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow{BC}\).

Объединим подобные члены:

\(\overrightarrow{NI} = 2\left(\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}\right) + \left(\frac{3}{5}\overrightarrow{BC} - \frac{1}{5}\overrightarrow{BC}\right)\).

Упростим выражение еще раз:

\(\overrightarrow{NI} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow{BC}\).

Таким образом, мы получили выражение для вектора \(\overrightarrow{NI}\).

Мы видим, что отрезки MK и NI делятся точкой пересечения в заданных пропорциях 3:2.

Это было доказано с использованием векторного подхода.