В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что сторона основания AB равна 10, а боковое ребро SA равно

Радужный_День

33

Для начала, докажем, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

Известно, что если в ортогональной системе координат уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, то вектор (A, B, C) является нормалью к плоскости.

Построим систему координат, где ось Z будет совпадать с высотой пирамиды SA, ось X будет параллельна отрезку AB, а ось Y будет перпендикулярна XZ и лежать в плоскости ABC.

Так как пирамида SABCD — правильная, то все её грани являются равнобедренными треугольниками. Значит, плоскость ABC симметрична относительно оси Y.

Теперь найдём нормали к плоскости ABC и плоскости CKM. Для этого построим векторы, образованные двумя сторонами каждой плоскости (AB и AC для плоскости ABC, CK и CM для плоскости CKM).

Вектор AB можно получить, вычислив разность координат точек A и B:
\(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\)
Будем считать точку B (0, 0, 0), а точку A (10, 0, 0). Тогда \(\vec{AB} = (0-10, 0-0, 0-0) = (-10, 0, 0)\)

Вектор AC можно получить, вычислив разность координат точек A и C:
\(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}\)
Точку C можно найти, используя найденные ранее значения стороны основания AB и высоты SA:
Согласно теореме Пифагора, длина стороны CD равна \(\sqrt{AB^2 - SA^2} = \sqrt{10^2 - 15^2} = \sqrt{100 - 225} = \sqrt{-125}\)

Так как длина стороны CD и стороны AB положительна, получим, что в плоскости ABC точка C имеет координаты (10, 0, \(\sqrt{-125}\)).

Тогда, \(\vec{AC} = (10, 0, \sqrt{-125}) - (10, 0, 0) = (0, 0, \sqrt{-125})\)

Теперь посмотрим на плоскость CKM.

Вектор CK можно получить, вычислив разность координат точек K и C:
\(\vec{CK} = \vec{K} - \vec{C}\)
Будем считать точку K (0, 0, 0), а точку C (10, 0, \(\sqrt{-125}\)).

\(\vec{CK} = (0-10, 0-0, 0-\sqrt{-125}) = (-10, 0, -\sqrt{-125})\)

Вектор CM можно получить, вычислив разность координат точек M и C:
\(\vec{CM} = \vec{M} - \vec{C}\)
Будем считать точку M (0, \(40/7\), 0), а точку C (10, 0, \(\sqrt{-125}\)).

\(\vec{CM} = (0-10, \frac{40}{7}-0, 0-\sqrt{-125}) = (-10, \frac{40}{7}, -\sqrt{-125})\)

Теперь найдём нормали к плоскости ABC и плоскости CKM.

Нормаль к плоскости ABC равна векторному произведению векторов AB и AC:
\(\vec{n_{ABC}} = \vec{AB} \times \vec{AC}\)
\(\vec{n_{ABC}} = (-10, 0, 0) \times (0, 0, \sqrt{-125})\)

Векторное произведение векторов можно найти следующим образом:
\(\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
v_{1x} & v_{1y} & v_{1z} \\
v_{2x} & v_{2y} & v_{2z}
\end{vmatrix}\)

\(\vec{n_{ABC}} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
-10 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \sqrt{-125}
\end{vmatrix}\)

\(\vec{n_{ABC}} = (-0, -10\sqrt{-125}, 0)\)

Аналогично найдём нормаль к плоскости CKM:
\(\vec{n_{CKM}} = \vec{CK} \times \vec{CM}\)
\(\vec{n_{CKM}} = (-10, 0, -\sqrt{-125}) \times (-10, \frac{40}{7}, -\sqrt{-125})\)

\(\vec{n_{CKM}} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
-10 & 0 & -\sqrt{-125} \\
-10 & \frac{40}{7} & -\sqrt{-125}
\end{vmatrix}\)

\(\vec{n_{CKM}} = (-\frac{250}{7}, 125, -10)\)

Теперь проверим, перпендикулярны ли найденные нормали. Для этого найдём их скалярное произведение:
\(\vec{n_{ABC}} \cdot \vec{n_{CKM}} = (-0, -10\sqrt{-125}, 0) \cdot (-\frac{250}{7}, 125, -10)\)
\(\vec{n_{ABC}} \cdot \vec{n_{CKM}} = -\frac{250}{7} \cdot (-10\sqrt{-125}) + 125 \cdot 0 + 0 \cdot (-10)\)
\(\vec{n_{ABC}} \cdot \vec{n_{CKM}} = \frac{2500}{7}\sqrt{-125} + 0 + 0 = \frac{2500}{7}\sqrt{-125}\)

В данном случае, мы видим, что скалярное произведение нормалей не равно нулю, а равно \(\frac{2500}{7}\sqrt{-125}\).

Таким образом, мы можем сделать вывод, что нормали к плоскости ABC и CKM не являются коллинеарными, значит, эти плоскости перпендикулярны.

Теперь найдём объём пирамиды BCKM.

Объём пирамиды можно найти по формуле \(V = \frac{1}{3}Sh\), где \(S\) — площадь основания, \(h\) — высота.

Площадь основания пирамиды BCKM равна площади треугольника BCK. Эту площадь можно найти по формуле Герона:

\(S_{BCK} = \sqrt{p(p-BC)(p-BK)(p-CK)}\),
где p — полупериметр треугольника \((BC + BK + CK)/2\).

\(p = (10 + 6 + \sqrt{(-10)^2 + (\frac{40}{7})^2 + (-\sqrt{-125})^2})/2 = \frac{70}{7}\)

\(S_{BCK} = \sqrt{\frac{70}{7}(\frac{70}{7}-10)(\frac{70}{7}-6)(\frac{70}{7}-\sqrt{(-10)^2 + (\frac{40}{7})^2 + (-\sqrt{-125})^2})}\)

Чтобы упростить вычисления, подставим значение \(\sqrt{-125} = 5i\):

\(S_{BCK} = \sqrt{\frac{70}{7}(\frac{70}{7}-10)(\frac{70}{7}-6)(\frac{70}{7}-\sqrt{(-10)^2 + (\frac{40}{7})^2 + 5i^2})}\)

\(S_{BCK} = \sqrt{\frac{70}{7}(\frac{70}{7}-10)(\frac{70}{7}-6)(\frac{70}{7}-\sqrt{(-10)^2 + (\frac{40}{7})^2 - 25})}\)

\(S_{BCK} = \sqrt{\frac{70}{7}(\frac{70}{7}-10)(\frac{70}{7}-6)(\frac{70}{7}-\sqrt{(-10)^2 + (\frac{40}{7})^2 - 25})}\)

\(S_{BCK} = \sqrt{\frac{70}{7}(\frac{70}{7}-10)(\frac{70}{7}-6)(\frac{70}{7}-\sqrt{2350/49})}\)

\(S_{BCK} = \sqrt{\frac{70}{7}(60/7)(64/7)(70/7-\sqrt{2350/49})}\)

\(S_{BCK} = \sqrt{\frac{70}{7} \cdot \frac{60}{7} \cdot \frac{64}{7} \cdot \frac{70}{7}-\frac{70}{7} \cdot \frac{60}{7} \cdot \frac{64}{7} \cdot \sqrt{2350/49}}\)

\(S_{BCK} = \sqrt{6400-\frac{25600}{7}\sqrt{2350/49}}\)

Теперь найдём высоту пирамиды BCKM. Высота пирамиды — это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды B на плоскость CKM.

Вектор AB можно рассматривать как радиус R сферы, на которой расположена пирамида SABCD.

Так как AM = \(\frac{40}{7}\), R = 10, SA = 15, нетрудно найти радиус сферы, проведя высоту пирамиды BCKM на плоскость ABC.

Воспользуемся теоремой Пифагора:
\(BC^2 = AB^2 - AC^2 = 10^2 - 15^2 = -125\)

Значит, BC = \(5i\)

Так как плоскость ABC является симметричной относительно оси Y, точка B (0, 0, 0), C (10, 0, 5i).
Тогда точка M (0+AM, 0, 0) будет иметь координаты \(\left(\frac{40}{7}, 0, 0\right)\).

Высоту пирамиды BCKM можно найти как модуль проекции радиуса R на плоскость CKM.
\(\vec{R} = \vec{B} - \vec{M} = (0, 0, 0) - \left(\frac{40}{7}, 0, 0\right) = \left(-\frac{40}{7}, 0, 0\right)\)

Чтобы найти проекцию вектора Р на вектор \(\vec{n_{CKM}}\), воспользуемся следующей формулой:
\(\vec{R_{\text{пр}}} = \frac{\vec{R} \cdot \vec{n_{CKM}}}{|\vec{n_{CKM}}|^2} \cdot \vec{n_{CKM}}\)
где \(\vec{R_{\text{пр}}}\) — проекция вектора R на плоскость CKM.

\(\vec{R_{\text{пр}}} = \frac{\left(-\frac{40}{7}, 0, 0\right) \cdot (-\frac{250}{7}, 125, -10)}{(-\frac{250}{7})^2 + 125^2 + (-10)^2} \cdot (-\frac{250}{7}, 125, -10)\)

\(\vec{R_{\text{пр}}} = \frac{\frac{40}{7} \cdot \frac{250}{7}}{\left(-\frac{250}{7}\right)^2 + 125^2 + (-10)^2} \cdot (-\frac{250}{7}, 125, -10)\)

\(\vec{R_{\text{пр}}} = \frac{\frac{40}{7} \cdot 250}{\left(-\frac{250}{7}\right)^2 + 125^2 + (-10)^2} \cdot (-\frac{250}{7}, 125, -10)\)

\(\vec{R_{\text{пр}}} = -\frac{1000}{7} \cdot (-\frac{250}{7}, 125, -10)\)

\(\vec{R_{\text{пр}}} = \left(\frac{2500000}{49}, -\frac{1250000}{7}, \frac{10000}{7}\right)\)

Мы получили проекцию вектора \(\vec{R}\) на плоскость CKM. Теперь найдём длину этой проекции.

Длина проекции вектора \(\vec{R_{\text{пр}}}\) — это высота пирамиды BCKM.

\(|\vec{R_{\text{пр}}}|\) = \(\sqrt{\left(\frac{2500000}{49}\right)^2 + \left(-\frac{1250000}{7}\right)^2 + \left(\frac{10000}{7}\right)^2}\)

\(|\vec{R_{\text{пр}}}|\) = \(\sqrt{\frac{62500000000000}{2401} + \frac{15625000000000}{49} + \frac{100000000}{49}}\)

\(|\vec{R_{\text{пр}}}|\) = \(\sqrt{\frac{10250000000000}{49} + \frac{156250000000}{49} + \frac{100000000}{49}}\)

\(|\vec{R_{\text{пр}}}|\) = \(\sqrt{\frac{11815000000000}{49}}\)

\(|\vec{R_{\text{пр}}}|\) = \(\frac{109000000}{7}\)

Теперь, когда мы нашли высоту пирамид