В прямоугольном треугольнике ABC, точка M на катете AC и точка N за точкой C такие, что CM = CB и CA = CN. а) Если

Лягушка

33

Решение:

а)
Поскольку в прямоугольном треугольнике ABC точки M и N таковы, что CM = CB и CA = CN, то треугольник AMC подобен треугольнику CNB с коэффициентом 2, так как у них соответственные стороны пропорциональны.
Теперь рассмотрим треугольники ABC и NMC. Мы знаем, что CM = 2CB (из подобия треугольников) и угол C общий для обоих треугольников. Следовательно, по теореме угловой биссектрисы мы имеем, что CN является биссектрисой угла NCM.
Теперь рассмотрим медиану CF в треугольнике NMC. Так как CN является биссектрисой угла NCM, то CF также является медианой в треугольнике NMC. Следовательно, CF делит сторону NM пополам и перпендикулярна ей.
По аналогии, CQ также будет перпендикулярна стороне AB треугольника ABC.

б)
Для решения второй части задачи найдем длины сторон треугольника NMC. Поскольку треугольники AMC и CNB подобны, мы можем использовать их отношение для нахождения длин сторон треугольника NMC.
Так как AC = 5 и CA = CN, то AN = 5. Также из подобия треугольников мы имеем, что MC = 3.
Теперь найдем длину BM. Поскольку треугольники ABC и NMC подобны, соответствующие стороны также пропорциональны. Таким образом, BM = 2.
Далее найдем длину стороны NM. Известно, что MN = AN - AM = 5 - 3 = 2.
Теперь находим длину BC, которая равна 3.

Таким образом, в результате решения задачи мы получили значения сторон треугольника NMC: NM = 2, MC = 3, и CN = 5.