В прямоугольном треугольнике, где один катет равен 8 см и синус противолежащего угла равен 0.8, пожалуйста, найдите

Петя

26

Для решения данной задачи нам понадобится использовать основные тригонометрические соотношения для прямоугольных треугольников: \(\sin(\theta) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\) и \(\cos(\theta) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\).

Дано, что один катет равен 8 см и синус противолежащего угла равен 0.8. Обозначим неизвестный катет через \(x\) и гипотенузу через \(h\).

Используя первое тригонометрическое соотношение, можем записать:
\[\sin(\theta) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{8}{h} = 0.8\]

Отсюда получаем уравнение:
\[\frac{8}{h} = 0.8\]

Чтобы найти гипотенузу, разделим обе части уравнения на 0.8:
\[\frac{8}{h} \div 0.8 = 1 \implies \frac{8}{0.8h} = 1\]

Упростим выражение:
\[\frac{8}{0.8h} = 1 \implies \frac{8}{0.8} = h \implies 10 = h\]

Таким образом, длина гипотенузы составляет 10 см.

Чтобы найти длину неизвестного катета \(x\), воспользуемся вторым тригонометрическим соотношением:
\(\cos(\theta) = \frac{{\text{{прилежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}} = \frac{x}{10} = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)}\)

Имея значение синуса, мы можем вычислить косинус и длину неизвестного катета:
\(\cos(\theta) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 - 0.8^2} \approx \sqrt{0.36} \approx 0.6\)

Теперь найдем значение катета \(x\), умножив обе части уравнения на 10:
\(\frac{x}{10} = 0.6 \implies x = 0.6 \cdot 10 \implies x = 6\)

Итак, длина гипотенузы равна 10 см, а длина другого катета - 6 см.

Надеюсь, это решение понятно. Если остались вопросы, пожалуйста, сообщите.