Яке вiдношення мiж площами поверхонь двох куль, якщо їх об єми вiдносяться як 27: 125?

Izumrud

44

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу, связывающую объем и площадь поверхности сферы. Формула для площади поверхности сферы S и объема V выглядит следующим образом:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
\[ S = 4 \pi r^2 \]

Где V - объем сферы, S - площадь поверхности сферы, а r - радиус сферы.

Дано, что отношение объемов двух сфер равно 27 : 125. Предположим, что объем первой сферы равен V₁, а объем второй сферы равен V₂, тогда получим следующее:

\[ \frac{V₁}{V₂} = \frac{27}{125} \]

Теперь мы можем использовать формулу для объема сферы, чтобы найти отношение радиусов сфер. Для этого сократим формулу объема:

\[ \frac{\frac{4}{3} \pi r₁^3}{\frac{4}{3} \pi r₂^3} = \frac{27}{125} \]

Сокращая общие множители и сводя к общему знаменателю, получаем:

\[ \frac{r₁^3}{r₂^3} = \frac{27}{125} \]

Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от кубов в числителях:

\[ (r₁^3)^3 = (r₂^3)^3 \cdot \frac{27}{125} \]

Применяя свойства степени и перемножая степени с одинаковыми основаниями, получим:

\[ r₁^9 = r₂^9 \cdot \frac{27}{125} \]

Распространяя степень на оба множителя в правой части, получим:

\[ r₁^9 = \left(r₂^3 \right)^3 \cdot \frac{3^3}{5^3} \]

Таким образом, можем заключить, что отношение площадей поверхностей двух сфер будет равно отношению радиусов в степени 2 (так как поверхность сферы пропорциональна квадрату радиуса):

\[ \frac{S₁}{S₂} = \left(\frac{r₁}{r₂}\right)^2 \]

Подставим найденное равенство с радиусами:

\[ \frac{S₁}{S₂} = \left(\frac{r₁^9}{r₂^9} \right)^{\frac{2}{9}} \]

Возводя в степень, получаем:

\[ \frac{S₁}{S₂} = \left(\left(r₂^3 \right)^3 \cdot \frac{3^3}{5^3}\right)^{\frac{2}{9}} \]
\[ \frac{S₁}{S₂} = \left(r₂^3 \right)^{\frac{6}{9}} \cdot \left(\frac{3^3}{5^3} \right)^{\frac{2}{9}} \]

Упростим формулу:

\[ \frac{S₁}{S₂} = \left(r₂^2 \right)^{\frac{2}{3}} \cdot \left(\frac{3^2}{5^2}\right)^{\frac{2}{9}} \]
\[ \frac{S₁}{S₂} = r₂^{\frac{4}{3}} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{4}{9}} \]

Таким образом, отношение площадей поверхностей двух сфер будет равно:

\[ \frac{S₁}{S₂} = r₂^{\frac{4}{3}} \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{4}{9}} \]

Это и есть окончательный ответ на поставленную задачу.