В середине хорды AB, через которую проходит хорда CD, один из отрезков хорды CD длиннее другого на 3. Найдите длину

Milana

19

длина хорды AB равна 12.

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся сначала, как устроены хорды и их отрезки. Хорда - это отрезок, соединяющий две точки окружности, в данном случае точки A и B. Отрезок хорды - это часть хорды, ограниченная двумя точками. В данном случае у нас имеется отрезок, который я обозначу как \(x\), и отрезок, который я обозначу как \(x+3\). Пусть \(y\) - это длина хорды CD.

Мы знаем, что длина хорды AB равна 12. Это значит, что расстояние между точками A и B равно 12. Обозначим это расстояние как \(d\).

Теперь обратимся к треугольнику ABC, где C - это точка пересечения хорд AB и CD. Мы можем применить теорему о пересекающихся хордах, которая гласит, что произведение отрезков хорд, пересекающихся внутри окружности, равно произведению отрезков хорд, пересекающихся внутри окружности. Или по-другому, \(AC \cdot CB =CC" \cdot CD\). Так как мы знаем, что хорды AB и CD пересекаются, мы можем записать это как \(6 \cdot 6 = (6+x) \cdot (6+x+3)\).

Давайте решим это уравнение:

\[36 = (6+x)(9+x)\]

Распределим произведение:

\[36 = 54 + 15x + x^2\]

Перенесем все в одну сторону:

\[x^2 + 15x + 54 - 36 = 0\]

Упростим:

\[x^2 + 15x + 18 = 0\]

Теперь давайте воспользуемся формулой дискриминанта для нахождения корней этого квадратного уравнения. Формула дискриминанта выглядит так:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае \(a = 1\), \(b = 15\), \(c = 18\). Подставим:

\[D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18\]

\[D = 225 - 72\]

\[D = 153\]

Теперь используем формулу для нахождения корней:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставляем значения:

\[x = \frac{-15 \pm \sqrt{153}}{2}\]

Мы получаем два возможных значения для \(x\):

\[x_1 = \frac{-15 + \sqrt{153}}{2}\]

\[x_2 = \frac{-15 - \sqrt{153}}{2}\]

Однако, по условию задачи один из отрезков хорды CD длиннее другого на 3. Это значит, что только положительное значение \(x\) имеет смысл, так как длина хорды не может быть отрицательной.

Таким образом, длина хорды CD равна:

\[y = 6 + x\]

\[y = 6 + \frac{-15 + \sqrt{153}}{2}\]

\[y = \frac{-4 + \sqrt{153}}{2}\]

Ответ: длина хорды CD равна \(\frac{-4 + \sqrt{153}}{2}\) или приближенно 1.76 (округлено до сотых).