В случае равностороннего треугольника со стороной длиной 48 см, проведены соединяющие середины его сторон, затем

Олег

38

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство подобных фигур.

Изначально у нас есть равносторонний треугольник со стороной длиной 48 см. Если мы проведем соединяющие середины его сторон, мы получим 4 новых равносторонних треугольника, каждый из которых будет иметь сторону вдвое меньше исходного треугольника, то есть 24 см.

Затем мы можем повторить процесс и провести соединяющие середины сторон каждого из 4 новых треугольников. В результате мы получим 16 треугольников со стороной каждого равной 12 см.

Продолжая этот процесс, на следующем шаге получится 64 треугольника со стороной 6 см, затем 256 треугольников со стороной 3 см, и так далее.

Мы видим, что каждый новый шаг уменьшает длину стороны вдвое. Таким образом, чтобы найти сумму периметров всех треугольников, нужно посчитать сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, где первый член равен периметру исходного треугольника (3 * 48 = 144 см), а знаменатель равен 1/2.

Формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

\[S = a / (1 - r),\]

где \(S\) - сумма прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии.

Подставляя значения, получаем:

\[S = 144 / (1 - 1/2) = 144 / (1/2) = 288.\]

Итак, сумма периметров всех треугольников составляет 288 см.