В сосуде находится водород. Манометр показывает давление 0,5 атмосферы. Какое давление установится, если концентрацию

Zvezdnaya_Noch

55

Давление идеального газа связано с его средней кинетической энергией и концентрацией следующим образом:

\[P = \frac{2}{3} \cdot \frac{E}{V}\]
где \(P\) - давление, \(E\) - средняя кинетическая энергия и \(V\) - объем газа.

В нашей задаче у нас есть давление \(P_1 = 0.5 \, \text{атм}\), концентрацию \(n_2 = 6n_1\) и среднюю кинетическую энергию \(E_2 = \frac{1}{4}E_1\), где индекс 1 относится к исходному состоянию, а индекс 2 - к измененному состоянию.

Поскольку концентрация пропорциональна числу молекул газа, исходная и измененная концентрации можно связать следующим образом:

\[n_2 = 6n_1 \]

Также, средняя кинетическая энергия теплового движения связана с концентрацией следующим образом:

\[E = \frac{3}{2}kT\]
где \(k\) - постоянная Больцмана и \(T\) - температура в Кельвинах.

Таким образом, у нас есть следующая система уравнений:

1) \(P_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{E_2}{V} \)
2) \(n_2 = 6n_1 \)
3) \(E_2 = \frac{1}{4}E_1\)

Мы можем воспользоваться этой системой уравнений, чтобы определить измененное давление. Начнем с уравнения 2):

\[n_2 = 6n_1 \]

Подставим известное значение \(n_2\) в уравнение 1) и выразим \(P_2\):

\[P_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{E_2}{V} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\frac{1}{4}E_1}{V} = \frac{1}{6} \cdot \frac{E_1}{V}\]

Теперь, зная, что \(n = \frac{N}{V}\), где \(N\) - количество молекул газа, а \(V\) - его объем, мы можем выразить \(n_1\):

\[n_1 = \frac{N_1}{V}\]

Так как \(n_2 = 6n_1\), то:

\[n_2 = \frac{N_2}{V} = 6\frac{N_1}{V}\]

Отсюда можно получить, что:

\[N_2 = 6N_1\]

Теперь мы можем использовать условие задачи, чтобы выразить \(P_2\):

\[P_1 = 0.5 \, \text{атм}\]
\[P_2 = ?\]

Используем соотношение \(N_2 = 6N_1\):

\[P_2 = \frac{N_2}{V} = \frac{6N_1}{V} \]

Подставив \(n_1 = \frac{N_1}{V}\), получим:

\[P_2 = 6n_1 = 6 \cdot \frac{N_1}{V} = 6P_1\]

Таким образом, измененное давление \(P_2\) будет равно 3 атмосферам.

Ответ: \( P_2 = 3 \, \text{атм}\)