В точці поза колом проведено дві дотичні до кола. Кут між радіусами, проведеними в точки дотику, є тупим. Визначте
В точці поза колом проведено дві дотичні до кола. Кут між радіусами, проведеними в точки дотику, є тупим. Визначте, яким є кут між дотичними: гострим, прямим чи тупим.
а) Яким є кут між дотичними, якщо кут між радіусами є тупим?
б) Яким є кут між дотичними, якщо кут між радіусами є тупим?
в) Яким є кут між дотичними, якщо кут між радіусами є тупим?
а) Яким є кут між дотичними, якщо кут між радіусами є тупим?
б) Яким є кут між дотичними, якщо кут між радіусами є тупим?
в) Яким є кут між дотичними, якщо кут між радіусами є тупим?
Григорьевич 31
Для того чтобы ответить на эти вопросы, нам нужно вспомнить некоторые основные свойства окружностей и треугольников.а) Если у нас имеется точка вне окружности, и из нее проведены две касательные к окружности, а угол между радиусами, проведенными в точки касания, является тупым, то угол между касательными будет острый. Обоснуем это:
Пусть у нас есть точка \(P\) вне окружности, и из нее проведены две касательные к окружности, касающиеся окружности в точках \(A\) и \(B\). Также проведем два радиуса к окружности, которые проходят через точки касания \(A\) и \(B\), соединяя их с центром окружности \(O\). Угол между радиусами \(AO\) и \(BO\) равен тупому углу.
Теперь посмотрим на треугольник \(AOB\). Так как этот треугольник является прямоугольным (так как основание \(AB\) является диаметром окружности), угол между касательными \(PA\) и \(PB\) будет равен острому углу при вершине \(O\). Таким образом, ответ на вопрос (а) - угол между дотичными будет острым.
б) Если кут між радіусами є прямим, то градус между дотичними також буде прямий. Обоснування:
Подібно до випадку (а), ми беремо точку P поза колом і проводимо дві дотичні, котрі касаються в точках A та B. Потім проводимо радіуси AO та BO. Оскільки кут між радіусами AO та BO є прямим, ми маємо прямокутний трикутник AOB. Так як в цьому випадку ми маємо прямий кут, то кут між дотичними також буде прямий. Отже, відповідь на питання (б) - кут між дотичними є прямим.
в) Залишається відповісти на третє запитання: якщо кут між радіусами є гострим, яким буде кут між дотичними? Щоб знайти відповідь, розглянемо такий же випадок, як у (а) і (б), з точкою P, з радіусами AO та BO, і кутом між радіусами OAP та OB.
Оскільки кут між радіусами є гострим, а точка P знаходиться поза колом, ми маємо трикутник AOB зі всіма гострими кутами. У такому трикутнику гострі кути розташовані протилижні один до одного.
Отже, відповідь на запитання (в) - кут між дотичними також буде гострим.
Ми детально розглянули усі випадки і дали обгрунтування для кожного відповіді.