В точке К, полученной вдоль стороны CD квадрата ABCD, DK:KC=2:3. Известно, что площадь квадрата равна 13 см². Найдите

Вадим

52

Давайте решим данную задачу.

Пусть сторона квадрата равна \(a\) см. Тогда площадь квадрата будет равна \(a^2\) см².

Мы знаем, что площадь квадрата равна 13 см²:

\[a^2 = 13\]

Чтобы найти длину отрезка АК, нам необходимо найти длину отрезка КС.

У нас также дано, что отношение DK к KC равно 2 к 3:

\[\frac{{DK}}{{KC}} = \frac{{2}}{{3}}\]

Нам нужно найти длину стороны CK, чтобы найти длину отрезка КС. Пусть длина стороны CK равна \(x\) см.

Исходя из данного отношения, мы можем сделать следующее равенство:

\[\frac{{DK}}{{KC}} = \frac{{x}}{{a - x}} = \frac{{2}}{{3}}\]

Теперь решим это уравнение. Домножим обе части на \(3(x + a - x)\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[3x = 2(x + a - x)\]

Раскроем скобки:

\[3x = 2a\]

Теперь выразим \(x\) через \(a\):

\[x = \frac{{2a}}{{3}}\]

Теперь нам нужно найти длину стороны КС, что равно \(a - x\):

\[CK = a - x = a - \frac{{2a}}{{3}} = \frac{{a}}{{3}}\]

Мы знаем, что площадь квадрата равна 13 см²:

\[a^2 = 13\]

Теперь найдем значение \(a\):

\[a = \sqrt{{13}}\]

Теперь мы можем найти длину стороны КС:

\[CK = \frac{{a}}{{3}} = \frac{{\sqrt{{13}}}}{{3}}\]

Так как мы ищем длину отрезка АК, это будет равно \(AK = CK + CA\). Мы знаем, что стороны квадрата равны между собой, поэтому \(AK = CK + a\):

\[AK = \frac{{\sqrt{{13}}}}{{3}} + \sqrt{{13}} = \frac{{4\sqrt{{13}}}}{{3}}\]

Итак, длина отрезка АК равна \(\frac{{4\sqrt{{13}}}}{{3}}\) см.