В трапеции АВСД, где угол А=90°, угол ASC=45°, угол ASD=90°, и АВ=а, найдите разность между длинами векторов |вектор

Vechnyy_Put

65

Сначала давайте разберемся в определении векторов. Вектор - это направленный отрезок пространства, который имеет начальную и конечную точки. Длина вектора выражается через модуль или абсолютное значение вектора. В данной задаче нам нужно найти разность между длинами векторов \(|\overrightarrow{AB}|\) и \(|\overrightarrow{AS}|\).

Для начала построим трапецию АВСД:

    B _________ C

     /           \

    /             \

   /               \

A ----------------- D

У нас уже заданы несколько значений углов и отрезков. У нас есть угол А, который равен 90°, угол ASC, который равен 45°, и угол ASD, который тоже равен 90°. Также нам дано, что АВ равно а.

Известно, что противолежащие углы трапеции равны. Поэтому угол BSC также равен 45°.

Так как у нас задан прямоугольный треугольник ASD, мы можем применить теорему Пифагора. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, квадрат длины гипотенузы (AS) равен сумме квадратов длин катетов (AD) и (DS).

Мы знаем, что угол ASD равен 90°, поэтому AS является гипотенузой. AD - это один из катетов, который равен а, и DS - другой катет, который является вертикальной стороной трапеции.

Тогда можем записать уравнение по теореме Пифагора:

\[AS^2 = AD^2 + DS^2\]

\[DS = AS\sin(ASC) = AS\sin(45°)\]

Так как у нас уже задано, что угол ASC равен 45°, то мы можем использовать соответствующее значение синуса:

\[AS^2 = a^2 + (AS\sin(45°))^2\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно AS.

\[AS^2 = a^2 + \left(\frac{AS}{\sqrt{2}}\right)^2\]

\[AS^2 = a^2 + \frac{AS^2}{2}\]

Устраняем знаменатель и приводим подобные слагаемые:

\[2 \cdot AS^2 = 2 \cdot a^2 + AS^2\]

\[AS^2 = 2a^2\]

Теперь найдем значение AS:

\[AS = \sqrt{2a^2}\]

\[AS = \sqrt{2}a\]

Мы получили значение длины вектора AS. Теперь давайте найдем значение вектора AB.

У нас дано, что угол ASD равен 90°. Значит, AS - это гипотенуза, а AD - противолежащий катет. Мы знаем, что AD равен а, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины AB:

\[AB^2 = AS^2 - AD^2\]

\[AB^2 = (\sqrt{2}a)^2 - a^2\]

\[AB^2 = 2a^2 - a^2\]

\[AB^2 = a^2\]

\[AB = \sqrt{a^2}\]

\[AB = |a|\]

Теперь у нас есть значения длин векторов AB и AS. Мы должны найти их разность:

\[|AB| - |AS| = |a| - \sqrt{2}a\]

\[|AB| - |AS| = a - \sqrt{2}a\]

\[|AB| - |AS| = (1 - \sqrt{2})a\]

Таким образом, разность между длинами векторов \(|\overrightarrow{AB}|\) и \(|\overrightarrow{AS}|\) равна \((1 - \sqrt{2})a\).

Ответ: \((1 - \sqrt{2})a\)