В третьем царстве имеются три вида монет: рубли из бронзы, серебряные монеты достоинством 9 рублей и золотые монеты

Магнит

39

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо вначале составить уравнение, отражающее все условия задачи. Обозначим количество монет из бронзы как \(x\), количество серебряных монет как \(y\), а количество золотых монет как \(z\).

Исходя из условия, что из казны была выдана сумма менее 700 рублей и имеется только 23 монеты, мы можем записать следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x + y + z = 23 \\
x + 9y + 81z < 700
\end{cases}
\]

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений, чтобы найти значения переменных \(x\), \(y\), и \(z\). Мы можем использовать метод замены или метод сложения уравнений. В данном случае, метод замены будет наиболее удобным.

Перепишем первое уравнение в системе в виде \(x = 23 - y - z\). Затем подставим это выражение во второе уравнение:

\(23 - y - z + 9y + 81z < 700\)

Упростим это неравенство:

\(104z + 8y < 677\)

Мы знаем, что переменные \(x\), \(y\), и \(z\) являются натуральными числами, поэтому попробуем различные значения для переменных \(y\) и \(z\) в интервале от 0 до 7, чтобы найти подходящую комбинацию.

Подставим значения для \(y\) и \(z\) и найдем соответствующие значения для \(x\):

\[
\begin{align*}
\text{При } y &= 0, z = 0: x = 23 - 0 - 0 = 23 \\
\text{При } y &= 1, z = 0: x = 23 - 1 - 0 = 22 \\
\text{При } y &= 0, z = 1: x = 23 - 0 - 1 = 22 \\
\text{При } y &= 2, z = 0: x = 23 - 2 - 0 = 21 \\
\text{При } y &= 1, z = 1: x = 23 - 1 - 1 = 21 \\
\text{При } y &= 0, z = 2: x = 23 - 0 - 2 = 21 \\
\text{При } y &= 3, z = 0: x = 23 - 3 - 0 = 20 \\
\end{align*}
\]

Продолжая аналогичные вычисления, мы можем найти и другие комбинации значений для\(y\) и \(z\).

Однако, так как нам нужно найти сумму, которую нельзя выдать меньшим числом монет, то нам нужно выбрать комбинацию, при которой сумма будет наибольшей. Значение суммы будет равно \(x + 9y + 81z\).

Найденное значение суммы при каждой комбинации переменных:

\[
\begin{align*}
\text{При } y &= 0, z = 0: \text{Сумма} = 23 + 0 + 0 = 23 \\
\text{При } y &= 1, z = 0: \text{Сумма} = 22 + 9 + 0 = 31 \\
\text{При } y &= 0, z = 1: \text{Сумма} = 22 + 0 + 81 = 103 \\
\text{При } y &= 2, z = 0: \text{Сумма} = 21 + 18 + 0 = 39 \\
\text{При } y &= 1, z = 1: \text{Сумма} = 21 + 9 + 81 = 111 \\
\text{При } y &= 0, z = 2: \text{Сумма} = 21 + 0 + 162 = 183 \\
\text{При } y &= 3, z = 0: \text{Сумма} = 20 + 27 + 0 = 47 \\
\end{align*}
\]

Мы видим, что наибольшая сумма, которую нельзя выдать меньшим числом монет, равна 183 рублям, и она достигается при комбинации \(y = 0\) и \(z = 2\). Следовательно, искомая сумма равна 183 рублям.