В треугольнике ABC, который является прямоугольным, на стороне AC есть точка D. Это точка D такая, что угол ABD

Romanovich

37

Для начала, давайте разберемся с данными, чтобы было проще провести доказательство.

У нас есть треугольник ABC, который является прямоугольным, со сторонами AB, BC и AC. Точка D находится на стороне AC, а точка E находится на стороне BC. Также есть точка F на прямой BD, которая является основанием перпендикуляра, опущенного из точки E. Известно, что угол ABD в два раза больше угла DBC и BF равно BA.

Наша задача – доказать, что сумма DE и EF равна.

Давайте рассмотрим треугольник BDE. Угол BDE равен 90 градусов, так как треугольник ABC прямоугольный. Поскольку BF равно BA, а угол ABD в два раза больше угла DBC, то угол BDA также равен 90 градусов.

Теперь давайте обратимся к треугольнику DEF. У нас есть две перпендикулярные прямые – BD и EF. Это означает, что угол BDE также равен 90 градусов.

Из этого следует, что треугольник BDE и DEF являются прямоугольными треугольниками.

Далее, так как треугольник ABC является прямоугольным, прямоугольная сторона BC равна гипотенузе треугольника DEF, то есть DE + EF = BC.

Мы знаем, что DE + EF = BC, а также известно, что BF равно BA.

Для завершения нашего доказательства нам нужно показать, что треугольник ABC подобен треугольнику BDF. Из этого следует, что BC/BA = BD/DF. Поскольку BF равно BA, то предыдущее уравнение можно переписать как BC/BF = BD/DF. Затем заменив BC на DE + EF и заменив BF на BA, получаем (DE + EF)/BA = BD/DF.

Так как треугольник BDE и DEF являются прямоугольными треугольниками, то можно сделать вывод, что BD/DF = DE/EF. Тогда наше равенство перепишется как (DE + EF)/BA = DE/EF.

Обе части равенства содержат одно и то же слагаемое DE/EF. Поэтому мы можем убрать его с обеих сторон уравнения. Получаем DE + EF = BA.

Таким образом, мы доказали, что сумма DE и EF равна BA.