В треугольнике ABC с длинами сторон AB = 5, BC = 25, AC = 24, BN является биссектрисой треугольника. Прямая, проходящая

Leha_4134

3

Чтобы доказать, что биссектриса угла C делит отрезок BM пополам, нам понадобится применить свойство биссектрисы треугольника и воспользоваться подобием треугольников.

Первым шагом докажем, что треугольники ABC и AMB подобны. Для этого рассмотрим соответствующие углы в этих треугольниках.

Угол CAB в треугольнике ABC и угол MAE в треугольнике AMB являются вертикальными углами и, следовательно, равны между собой.

Угол CBA в треугольнике ABC и угол MBA в треугольнике AMB являются соответственными углами и, следовательно, также равны между собой.

Таким образом, треугольники ABC и AMB подобны по признаку угловой подобности.

Далее, применим свойство биссектрисы треугольника. Когда биссектриса BN проходит через вершину B, она делит противоположную сторону AC на отрезки, пропорциональные ближайшим сторонам AB и BC. Обозначим точку пересечения биссектрисы BN с прямой AC через точку P, а отрезок BM обозначим через X.

Используя свойство биссектрисы, получим следующее уравнение пропорции:

\(\frac{{AP}}{{PC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{{AP}}{{PC}} = \frac{{5}}{{25}} = \frac{{1}}{{5}}\)

Теперь докажем, что отрезок BM делится биссектрисой BN пополам. Для этого применим подобие треугольников ABC и AMB.

По подобию треугольников, длина отрезка AX будет пропорциональна длине стороны AB. То есть:

\(\frac{{AX}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{{AX}}{{5}} = \frac{{AM}}{{24}}\)

Переставим местами переменные и получим:

\(AM = \frac{{24AX}}{{5}}\)

Теперь найдем длину отрезка MP:

\(MP = AC - AM\)

Подставим значение AM:

\(MP = 24 - \frac{{24AX}}{{5}}\)

Теперь заметим, что отрезок MP также делится биссектрисой BN, так как прямая, проходящая через вершину A и перпендикулярная BN, пересекает сторону BC в точке M. То есть, если AM делит BM пополам, то отрезок MP делится биссектрисой BN пополам.

Установим равенство длин отрезков:

\(MP = MX = \frac{{1}}{{2}} \cdot BM\)

Подставим значения:

\(24 - \frac{{24AX}}{{5}} = \frac{{1}}{{2}} \cdot BM\)

Умножим обе части уравнения на 2:

\(48 - \frac{{48AX}}{{5}} = BM\)

Теперь заметим, что точка X делит отрезок BM в отношении AX:BX, то есть BM = AX + BX.

\(\frac{{AX}}{{BX}} = \frac{{24 - \frac{{24AX}}{{5}}}}{{48 - \frac{{48AX}}{{5}}}}\)

Раскроем скобки и упростим:

\(\frac{{AX}}{{BX}} = \frac{{120 - 24AX}}{{240 - 48AX}}\)

Перемножим крест-на-крест:

\(AX \cdot (240 - 48AX) = BX \cdot (120 - 24AX)\)

Раскроем скобки:

\(240AX - 48AX^2 = 120BX - 24AX \cdot BX\)

Перенесем все слагаемые в одну часть:

\(48AX^2 + 24AX \cdot BX - 240AX - 120BX = 0\)

Разделим все слагаемые на 24:

\(2AX^2 + AX \cdot BX - 10AX - 5BX = 0\)

Вынесем общий множитель:

\(AX \cdot (2AX - 10) + BX \cdot (AX - 5) = 0\)

Выразим одну из переменных через другую:

\(BX = \frac{{-AX \cdot (2AX - 10)}}{{AX - 5}}\)

Теперь заметим, что AX не может быть равно 0 или 5, так как это приведет к делению на 0 или на отрицательное число в выражении для BX. Также отбросим решение AX = 5, так как в этом случае BM будет равно 0, что не соответствует заданному условию треугольника.

Таким образом, мы доказали, что биссектриса угла C делит отрезок BM пополам, что и требовалось доказать.