В треугольнике ABC с прямым углом C и высотой CD, равной 4 см, а отрезком DB, равным 6 см, найдите значение синуса

Магия_Звезд

19

Для решения этой задачи нам понадобится применить теоремы о прямоугольных треугольниках и о соотношениях между сторонами и углами в треугольнике.

Дано, что у нас есть треугольник ABC, в котором прямой угол находится в вершине C. Также даны высота CD и отрезок DB. Пусть точка E - точка пересечения отрезков CD и AB.

1. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ACD, можем найти длину отрезка AD:
\[
AD^2 = CD^2 + AC^2
\]
Из данной задачи, высота CD равна 4 см, а отрезок DB равен 6 см. Так как угол BCD прямой, то мы можем применить теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике BCD:
\[
BD^2 = CD^2 + BC^2
\]
Подставляем значения и получаем:
\[
6^2 = 4^2 + BC^2
\]
Решая это уравнение, найдем значение BC:
\[
BC = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4,47 \text{ см}
\]
Теперь, используя это значение, вычисляем значение AC при помощи теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:
\[
AC^2 = BC^2 + AB^2
\]
Подставляем значения и получаем:
\[
AC^2 = (2\sqrt{5})^2 + 6^2
\]
\[
AC^2 = 20 + 36 = 56
\]
\[
AC = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \approx 7,48 \text{ см}
\]
Таким образом, мы нашли значения сторон треугольника ABC: AB = 6 см, BC = 2√5 см, AC = 2√14 см.

2. Теперь, чтобы найти значение синуса угла C, мы можем использовать отношение противоположной стороны к гипотенузе в прямоугольном треугольнике ABC:
\[
\sin(C) = \frac{BC}{AC}
\]
Подставляем значения:
\[
\sin(C) = \frac{2\sqrt{5}}{2\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}}
\]
Чтобы избавиться от корней в знаменателе, можно умножить их на себя:
\[
\sin(C) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{70}}{14}
\]
Таким образом, значение синуса угла C равно \(\frac{\sqrt{70}}{14}\) или около 0,264.

3. Чтобы найти значение тангенса угла C, мы можем использовать отношение противоположной стороны к прилежащей стороне в прямоугольном треугольнике ABC:
\[
\tan(C) = \frac{BC}{CD}
\]
Подставляем значения:
\[
\tan(C) = \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}
\]
Таким образом, значение тангенса угла C равно \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) или около 1,118.

Таким образом, мы нашли значения синуса и тангенса угла C в заданном треугольнике.