В треугольнике ABC, точка D на стороне AC расположена таким образом, что AD равно 4 см, а DC равно 11 см. Сегмент

Ser

17

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойство подобия треугольников. Для начала, давайте посмотрим на отношение площадей треугольников.

По свойству подобия треугольников, отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения длин их соответствующих сторон.

Обозначим площадь меньшего треугольника как \(S_1\) и большего треугольника как \(S_2\).

Тогда формула для вычисления отношения площадей будет выглядеть следующим образом:

\(\frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{BD}{BC} \right)^2\)

Мы уже знаем отношение длин сторон AD и DC, которое равно \(\frac{AD}{DC} = \frac{4}{11}\). Заметим, что сторона BC равна сумме сторон AC и AB: \(BC = AC + AB\).

Теперь, чтобы продолжить решение задачи, нам понадобится использовать формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{база} \cdot \text{высота}\]

Рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем его площадь равна 120 см² и стороны AD и DC. Чтобы выразить базу и высоту треугольника через известные значения, нам нужно разделить этот треугольник на два треугольника с использованием сегмента DB.

Площадь треугольника ABC будет равна сумме площадей двух получившихся треугольников:

\(S_2 = S_1 + S_3\)

Теперь у нас есть две системы уравнений:

\[
\begin{cases}
\frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{BD}{BC} \right)^2 \\
S_2 = S_1 + S_3
\end{cases}
\]

Давайте продолжим решение, подставив известные значения.

Перепишем первое уравнение в виде

\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{BD^2}{BC^2}\)

Теперь можем подставить \(BD = AD = 4\) и \(BC = AC + AB\) во второе уравнение:

\(S_2 = S_1 + S_3\).

Подставим значение \(S_2 = 120\) см²:

\(120 = S_1 + S_3\)

Теперь у нас есть два уравнения:

\[
\begin{cases}
\frac{S_1}{120} = \frac{16}{(AC + AB)^2} \\
120 = S_1 + S_3
\end{cases}
\]

Чтобы найти \(S_1\), нужно решить эту систему уравнений.

Далее нам понадобится учитывать тот факт, что треугольники ABC и ADB подобны. Нам известно, что \(\frac{AD}{AC} = \frac{BD}{BC} = \frac{4}{AC + AB}\).

Можем переписать это уравнение:

\(\frac{4}{AC + AB} = \frac{4}{11}\)

Решим его относительно AB:

\(\frac{4}{11} = \frac{4}{AC + AB}\)

Умножим обе стороны на \(AC + AB\):

\(AC + AB = 11\)

Теперь для нашей системы уравнений у нас есть два уравнения:

\[
\begin{cases}
\frac{S_1}{120} = \frac{16}{(AC + AB)^2} \\
AC + AB = 11
\end{cases}
\]

Давайте продолжим решение. Разрешим второе уравнение относительно AB:

\(AB = 11 - AC\)

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

\(\frac{S_1}{120} = \frac{16}{(AC + 11 - AC)^2}\)

Простые выражения AC сократятся, и мы получим:

\(\frac{S_1}{120} = \frac{16}{11^2}\)

Теперь умножим обе стороны на 120:

\(S_1 = \frac{16}{11^2} \cdot 120\)

Вычислим это выражение:

\(S_1 = \frac{16}{121} \cdot 120\)

\(S_1 = \frac{1920}{121}\)

Получаем значение площади меньшего треугольника \(S_1 = \frac{1920}{121}\) см², округляя до двух десятичных знаков, это примерно равно 15,87 см².

Таким образом, площадь меньшего треугольника равна примерно 15,87 см².