В ящике имеется 100 болтов. Из них, у двух болтов испорчена резьба. Сергей Петрович случайно выбирает 2 болта из ящика
В ящике имеется 100 болтов. Из них, у двух болтов испорчена резьба. Сергей Петрович случайно выбирает 2 болта из ящика. Определите вероятность того, что: а) оба выбранных болта будут испорчены; б) оба испорченных болта останутся в ящике; в) среди выбранных болтов будет только один болт с испорченной резьбой.
Raduzhnyy_List_2749 67
Для решения данной задачи воспользуемся понятием вероятности, где вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.а) Для определения вероятности того, что оба выбранных болта будут испорчены, необходимо вычислить количество благоприятных исходов и поделить на общее количество возможных исходов.
Итак, из ящика мы выбираем 2 болта. Изначально в ящике имеется 100 болтов, и из них 2 испорчены. Значит, у нас есть 2 испорченных болта и 98 неразрушенных болтов.
Общее количество возможных исходов можно найти с помощью формулы сочетания: C(100, 2) = \(\frac{{100!}}{{2!(100-2)!}}\).
Теперь найдем количество благоприятных исходов – это число случаев, когда оба выбранных болта будут испорчены. У нас есть всего 2 испорченных болта, поэтому количество благоприятных исходов равно C(2, 2) = 1.
Таким образом, вероятность того, что оба выбранных болта будут испорчены, равна:
\(P(\text{оба испорчены}) = \frac{{1}}{{C(100, 2)}}\)
б) Чтобы найти вероятность того, что оба испорченных болта останутся в ящике, нужно рассмотреть количество благоприятных исходов и общее количество возможных исходов.
Изначально в ящике у нас есть 2 испорченных болта и 98 неразрушенных болтов. Мы выбираем 2 болта.
Тогда количество благоприятных исходов будет равно C(2, 0) * C(98, 2), так как нам нужно выбрать 0 испорченных болта и 2 неразрушенных болта.
Общее количество возможных исходов тут же – C(100, 2).
Таким образом, вероятность того, что оба испорченных болта останутся в ящике, равна:
\(P(\text{оба останутся в ящике}) = \frac{{C(2, 0) \cdot C(98, 2)}}{{C(100, 2)}}\)
в) Для определения вероятности того, что среди выбранных болтов будет только один болт с испорченной резьбой, снова необходимо найти количество благоприятных исходов и общее количество возможных исходов.
Количество благоприятных исходов равно C(2, 1) * C(98, 1), так как нам нужно выбрать 1 испорченный болт и 1 неразрушенный болт.
Общее количество возможных исходов остается C(100, 2).
Таким образом, вероятность того, что среди выбранных болтов будет только один болт с испорченной резьбой, равна:
\(P(\text{один испорченный}) = \frac{{C(2, 1) \cdot C(98, 1)}}{{C(100, 2)}}\)
При выполнении всех расчетов получим численные значения вероятностей.