Вариант 1: 1. Каковы координаты вектора ОА, ов, АВ, ВА и как найти длину вектора AB, если известны координаты точек

Yagnenka

1

1. Чтобы найти координаты вектора OA, мы вычитаем координаты точки O (0; 0; 0) из координат точки A (-2; 3; 5):

\[ \vec{OA} = \begin{pmatrix} -2 - 0 \\ 3 - 0 \\ 5 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} \]

Аналогичным образом находим вектор ов:

\[ \vec{ов} = \begin{pmatrix} 0 - (-2) \\ 0 - 3 \\ 0 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -5 \end{pmatrix} \]

Для вектора AB:

\[ \vec{AB} = \begin{pmatrix} 5 - (-2) \\ -1 - 3 \\ -1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ -4 \\ -6 \end{pmatrix} \]

Вектор ВА будет противоположен вектору AB:

\[ \vec{ВА} = -\vec{AB} = \begin{pmatrix} -7 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \]

Чтобы найти длину вектора AB, воспользуемся формулой длины вектора:

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{(7)^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{49 + 16 + 36} = \sqrt{101} \]

Таким образом, длина вектора AB равна \(\sqrt{101}\).

2. Мы знаем, что вектор MN равен (-2; 10; -12). Чтобы найти значения x, y, z для точки N, мы вычитаем координаты точки M (3,2; 0; -5,6) из вектора MN:

\[ \vec{MN} = \begin{pmatrix} x - 3,2 \\ y - 0 \\ 2 - (-5,6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 10 \\ -12 \end{pmatrix} \]

Отсюда получаем систему уравнений:

\[
\begin{cases} x - 3,2 = -2 \\ y = 10 \\ 7,6 = -12 \end{cases}
\]

Решаем эту систему уравнений:

\[
\begin{cases} x = 3,2 - 2 = 1,2 \\ y = 10 \\ z = 7,6 + 12 = 19,6 \end{cases}
\]

Таким образом, значения x, y, z для точки N равны 1,2; 10; 19,6 соответственно.

3. Чтобы найти координаты точки C, которая является серединой отрезка AB, мы используем формулу для нахождения среднего значения координат:

\[ C = \left(\frac{A_1 + B_1}{2}, \frac{A_2 + B_2}{2}, \frac{A_3 + B_3}{2}\right) \]

В данном случае:

\[ C = \left(\frac{3,2 - 2,8}{2}, \frac{0 + 4}{2}, \frac{-5,6 - 3,6}{2}\right) = \left(0,2, 2, -4,6\right) \]

Таким образом, координаты точки C равны 0,2; 2; -4,6.

4. Чтобы определить, лежит ли точка M (-6; 0; 6) на прямой AB, мы можем подставить ее координаты в уравнение прямой и проверить, выполняются ли они:

Уравнение прямой AB можно найти из двух точек A (0; 0; 2) и B (3; 0; 5). Представим его в параметрической форме:

\[ x = 3t, \quad y = 0, \quad z = 2 + 3t \]

Теперь подставим координаты точки M (-6; 0; 6) в это уравнение:

\[ -6 = 3t, \quad 0 = 0, \quad 6 = 2 + 3t \]

Решим первое и третье уравнения:

\[ t = -2, \quad t = 1 \]

Так как нет общего значения для t, которое удовлетворяло бы обоим уравнениям, то точка M не лежит на прямой AB.

5. Чтобы доказать, что ABCD - параллелограмм, мы можем проверить, являются ли противоположные стороны параллельными и равными.

Если противоположные стороны параллельны, то векторы, соединяющие их вершины, будут коллинеарными.

Пусть A (x_1, y_1, z_1), B (x_2, y_2, z_2), C (x_3, y_3, z_3) и D (x_4, y_4, z_4) - координаты вершин ABCD соответственно.

Если AB || CD и BC || AD, то выполняется условие:

\[ \frac{x_2 - x_1}{x_4 - x_3} = \frac{y_2 - y_1}{y_4 - y_3} = \frac{z_2 - z_1}{z_4 - z_3} \]

а также

\[ \frac{x_3 - x_1}{x_4 - x_2} = \frac{y_3 - y_1}{y_4 - y_2} = \frac{z_3 - z_1}{z_4 - z_2} \]

Если данные условия выполняются, то ABCD является параллелограммом.